（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
従って、
（01）により、
（02）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「パースの法則」は、「演繹定理だけからでは導くことができない」（ウィキペディア）。
然るに、
（03）
連式に対して１０個の原始的規則のみを用いて証明が見出されるならば、その連式を、簡単な言いかたをとって、導出可能（deriable）であるとよぶことにしよう。―中略、―
メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、９７頁）
（04）
原始的規則よって導出できる連式はすべてトートロジー的であり、従ってメタ定理がえられることになる。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０２頁）
然るに、
（05）
メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。
といふ「定理」を導く際に用ひられてゐるのは、『演繹定理』だけである。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（１） Ｐ→Ｐ ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）
（２） ～Ｐ∨Ｐ １含意の定義（または、排中律。）
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
３ （６） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６ド・モルガンの法則
８ （８） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
８ （９） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ８含意の定義
３８ （ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ７９＆Ｉ
３ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ８アＲＡＡ
３ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ イ∨Ｉ
エ（エ） Ｐ Ａ
エ（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ エ∨Ｉ
（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １３ウエオ∨Ｅ
（キ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
といふ「計算」で用ひられてゐる、「排中律」と、「含意の定義」と、「ド・モルガンの法則」が、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」から、「導出」出来るのであれば、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「パースの法則」は、「演繹定理だけからでは導くことができない」（ウィキペディア）。
といふことは、「本当」ではない。
といふ、ことになる。
（07）
さうでなければ、固より、「以上の計算（06）」が「マチガイ」である。
といふことになるものの、「以上の計算（06）」に「マチガイ」はない。
然るに、
（08）
４４├ ～Ｐ∨Ｐ
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、６６頁改）
従って、
（06）（08）により、
（09）
（２） ～Ｐ∨Ｐ １含意の定義（または、排中律。）
は、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」から、「導出」出来る。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
３ （５） Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｐ＆ Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｐ Ａ
オ（オ） ～Ｑ Ａ
エオ（カ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） Ｐ→Ｑ エケＣＰ
１２ （サ） ～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ２コ＆Ｉ
１ （シ）～～（Ｐ→ Ｑ） ２サＲＡＡ
１ （ス） Ｐ→ Ｑ シＤＮ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） Ａ
３（３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～（Ｐ→Ｑ） ３５ＲＡＡ
２ （７） （Ｐ→Ｑ） ６ＤＮ
１２ （８） Ｐ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ イＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ Ａ
２ （２） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） Ａ
３ （３） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （５） （Ｐ→Ｑ） ３＆Ｅ
３４ （６） ～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→Ｑ） ４５＆Ｉ
４ （７） ～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） １４７８イ∨Ｅ
エ （エ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ） ～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆
（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ エケＣＰ
１２ （サ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）＆
（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ２コ＆Ｉ
１ （シ）～～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ シＤＮ
（ⅴ）
１ （１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ） Ａ
３（３） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） Ａ
３（４） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）＆
（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） ３５ＲＡＡ
２ （７） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） ６ＤＮ
１２ （８） Ｐ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）＆
（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ イＤＮ
（ⅵ）
１ （１） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨ Ｐ Ａ
２ （２） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
３ （３） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） Ａ
３ （５） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） ３＆Ｅ
３４ （６） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） ４５＆Ｉ
４ （７） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ） １４７８イ∨Ｅ
エ （エ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ）＆
（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ エケＣい
１２ （サ） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）＆
（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ） ２コ＆Ｉ
１ （シ）～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ シＤＮ
従って、
（06）（10）により、
（11）
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
８ （８） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
８ （９） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ８含意の定義
（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ １３ウエオ∨Ｅ
（キ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
といふ「６行の、含意の定義」は、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」から、「導出」出来る。
ｃｆ.
（Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出されうる。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、６９頁）
然るに、
（12）
（ⅶ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ Ａ
１ （３） （Ｐ→Ｑ） １＆Ｅ
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
１ ４ （５） （Ｐ→Ｑ）＆
～（Ｐ→Ｑ） ３４＆Ｉ
４ （６）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｐ １＆Ｅ
８（８） Ｐ Ａ
１ ８（９） ～Ｐ＆Ｐ ７８＆Ｉ
８（ア）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） ２４６８ア
１２ （ウ） （（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆
～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） １ウＲＡＡ
（ⅷ）
１ （１）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～（Ｐ→Ｑ） ２４ＲＡＡ
１ （６） （Ｐ→Ｑ） ５
６（７） Ｐ Ａ
６（８） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
１ ６（９）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） １７＆Ｉ
１ （ア） ～Ｐ ６８ＲＡＡ
１ （イ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ５９＆Ｉ
従って、
（06）（12）により、
（13）
３ （６） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６ド・モルガンの法則
といふ「２行の、ド・モルガンの法則」は、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」から、「導出」出来る。
従って、
（06）（09）（11）（13）により、
（14）
（１） Ｐ→Ｐ ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）
（２） ～Ｐ∨Ｐ １含意の定義（または、排中律。）
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
３ （６） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６ド・モルガンの法則
８ （８） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
８ （９） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ８含意の定義
３８ （ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ７９＆Ｉ
３ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ８アＲＡＡ
３ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ イ∨Ｉ
エ（エ） Ｐ Ａ
エ（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ エ∨Ｉ
（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １３ウエオ∨Ｅ
（キ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
といふ「１６行の証明」は、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」だけが、用ひられてゐる。
従って、
（06）（14）により、
（15）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「パースの法則」は、「演繹定理だけからでは導くことができない」（ウィキペディア）。
といふことは、「本当」ではなく、「ウソ」であると、思はれる。
（16）
（２） ～Ｐ∨Ｐ １排中律。
３ （３） ～Ｐ Ａ
といふ「２行」は、
（２）Ｐでないか、Ｐである（排中律）。
は、「必ず、真」である。が、今は、
（３）Ｐでない。 と、「仮定」する。
といふ、「意味」である。
（17）
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
といふ「２行」は、
（３）Ｐでない。 と、「仮定」するが、その上、
（４）Ｑかも知れないし、Ｑでないかも、知れない。
といふ「意味」である。
（18）
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
ので、（５）は、「含意の定義」である。
（19）
３ （６） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ３４＆Ｉ
といふ「一行」は、
３ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
に対して、
３ （３） ～Ｐ Ａ
を加へた「形」である。
（20）
３ （６） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ
を得ることが出来れば、
３ （７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６ド・モルガンの法則
８ （８） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
８ （９） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ８含意の定義
３８ （ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ７９＆Ｉ
３ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ８アＲＡＡ
によって、
３ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ イ∨Ｉ
を得ることが、出来る。
（21）
（２） ～Ｐ∨Ｐ １排中律。
エ（エ） Ｐ Ａ
といふ「２行」は、
（２）Ｐでないか、Ｐである（排中律）。
は、「必ず、真」である。が、今度は、
（エ）Ｐである。 と、「仮定」する。
といふ「意味」である。
（22）
エ（エ） Ｐ Ａ
エ（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ エ∨Ｉ
といふ「２行」は、
（エ）Ｐである。 と、「仮定」するが、その上、
（オ）～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）であるかも知れないし、さうでないかも知れない。
といふ、「意味」である。
（23）
（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １３ウエオ∨Ｅ
といふ「１行」は、
（２）Ｐでないか、Ｐである（排中律）。
は、「必ず、真」である。が、
（２）Ｐでなくても、Ｐであっても、いづれにせよ、
（カ）～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ
である。といふ、「意味」である。
（24）
（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １３ウエオ∨Ｅ
（キ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
といふ「２行」は、「含意の定義」により、
（カ）＝（キ） である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（25）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、「日本語」でいふと、
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「意味」である。
（26）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」だと知ったときは、「意外」であったものの、今は「意外」であるとは、思ってゐない。
（27）
「昨日（令和０２年０１月２４日）の記事」でも書いた通り、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
の「対偶（Contraposition）」を「計算」してみたところ、
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
② Ｐでないならば（Ｑでなかろうと、Ｑであろうと、Ｐでない）。
であることが、分かったものの、
② Ｐでないならば（Ｑでなかろうと、Ｑであろうと、Ｐでない）。
といふことは、「当然」である。
令和０２年０１月２５日、毛利太。
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