「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」。

（01）
①（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。
といふことは、
②　Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
といふことである。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。
②　Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
「記号」で書くと、
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（02）（03）により、
（04）
③（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。といふことはない。
④（Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。）といふことはない。
に於いて、すなはち、
③ ～～（Ｐ＆　Ｑ）
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
③＝④ であるものの、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（05）
③ ～～（Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。といふことはない。
といふことは、「二重否定律（ＤＮ）により、
③  Ｐ＆Ｑ
③  Ｐであって、その上、Ｑである。
といふことである。
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
③＝④ であるものの、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① 　～（Ｐ＆　Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。
② 　　～Ｐ∨～Ｑ　≡　Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ　≡　Ｐであって、その上、Ｑである。
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。）といふことはない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であり、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（08）
１ 代入の規則
　一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（07）（08）により、
（09）
例へば、
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
Ｑ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行へば、
③ 　　　（Ｐ→～Ｐ）＆　～Ｐ
④ ～（～（Ｐ→～Ｐ）∨～～Ｐ）
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
ｃｆ.
この場合の「③＝④」を、「ベン図」ではどう描くのかだろうか（？）。
然るに、
（10）
① 　～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行へば、
① 　～（Ｐ＆　～Ｑ）
② 　　～Ｐ∨～～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（11）
「二重否定律（ＤＮ）により、
② ～～Ｑ　は、
②     Ｑ　に「等しい」。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
①＝② であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（13）
「交換法則」により、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② 　～Ｐ∨　Ｑ
といふ「式」は、
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）
④ 　　Ｑ∨～Ｐ
といふ「式」に、他ならない。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② 　～Ｐ∨　Ｑ
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）
④ 　　Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（14）により、
（15）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑでない。）といふことはない。
② 　～Ｐ∨　Ｑ　≡　Ｐでないか、Ｑであるか、少なくとも、その一方である。
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）≡（Ｑでなくて、その上、Ｐである。）といふことはない。
④ 　　Ｑ∨～Ｐ　≡　Ｑであるか、Ｐでないか、少なくとも、その一方である。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（16）
①（Ｐであって、その上、Ｑでない。）といふことはない。
といふことは。
③  Ｐである。ならば、Ｑである。
といふことに、他ならない。
然るに、
（17）
② Ｐでないか、Ｑであるか、少なくとも、その一方である。
として、
② Ｐでない、ではない。
であるならば、「消去法」により、
②             Ｑである。
然るに、
（18）
「二重否定律（ＤＮ）により、
② Ｐでない、ではない。
といふことは、
② Ｐである。
といふ、ことである。
従って、
（17）（18）により、
（19）
② Ｐでないか、Ｑであるか、少なくとも、その一方である。
といふことは、
③ Ｐである。ならば、Ｑである。
といふことである。
従って、
（16）（19）により、
（20）
①（Ｐであって、その上、Ｑでない。）といふことはない。
②  Ｐでないか、Ｑであるか、少なくとも、その一方である。
といふことは、両方とも、
③  Ｐであるならば、Ｑである。
といふことに、他ならない。
従って、
（21）
「記号」で書くと、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②   ～Ｐ∨　Ｑ
③     Ｐ→　Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、「上田泰治、論理学、1967年、８６頁」を見ると、
①＝② も、「含意の定義」と、なってゐて、
②＝③ も、「含意の定義」と、なってゐる。
然るに、
（22）
「このブログ」では、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②   ～Ｐ∨　Ｑ
③     Ｐ→　Ｑ
に於いて、
①＝② を、「ド・モルガンの法則」といひ、
②＝③ を、「含意の定義」といふ。
然るに、
（23）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②   ～Ｐ∨　Ｑ
③     Ｐ→　Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。といふことを、「言葉（日本語）」ではなく、「計算」で示すと、次（24）のやうになる。
（24）
（ⅰ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　６７＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１　　　　　　（１）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）　　Ａ
　　３　　　　（３）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　　４　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　　　　（５）　　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　　３４　　　（６）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　４５＆Ｉ
　　　４　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　　８　　（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　３　　　　（９）　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
　　３　８　　（ア）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　　８　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　　（ウ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１４７８イ∨Ｅ
　　　　　エ　（エ）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　オ（オ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　　エオ（カ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　　エオ（キ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　　エ　（ク）　　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
１　　　　エ　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　クＤＮ
１　　　　　　（コ）　　　　Ｐ→Ｑ　　　エケＣＰ
１２　　　　　（サ）　　～（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　　２コ＆Ｉ
１　　　　　　（シ）　～～（Ｐ→Ｑ）　　２サＲＡＡ
１　　　　　　（ス）　　　　Ｐ→Ｑ　　　シＤＮ
（ⅳ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
従って、
（24）により、
（25）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②   ～Ｐ∨　Ｑ
③     Ｐ→　Ｑ
に於いて、
① ⇔ ② であって、
② ⇔ ③ である。
従って、
（25）により、
（26）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②   ～Ｐ∨　Ｑ
③     Ｐ→　Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和０２年０２月２５日、毛利太。