「選言三段論法（消去法）」と「は・が」と「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ　　　　　　　Ａ　
　２　　（３）～～Ｐ　　　　　　　２
　２　　（４）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ
　　５　（５）　　　　Ｑ　　　　　Ａ
　　５　（６）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　５∨Ｉ
１　　　（７）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　１２４５６∨Ｅ
１　　　（８）　～Ｐ→Ｑ　　　　　７含意の定義
　　　９（９）　　　～Ｑ　　　　　Ａ
１　　９（ア）～～Ｐ　　　　　　　８９ＭＴＴ
１　　９（イ）　　Ｐ　　　　　　　９ＤＮ
１　　　（ウ）　～Ｑ→Ｐ　　　　　９イＣＰ
１　　　（エ）～Ｐ→Ｑ＆～Ｑ→Ｐ　８ウ＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）　～Ｐ→Ｑ＆～Ｑ→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　１＆Ｉ
１　　　（３）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　２含意の定義
　４　　（４）～～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　４　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　４ＤＮ
　４　　（６）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　５∨Ｉ
　　７　（７）　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
１　　　（９）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　３４６７８∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①    Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
１（８）含意の定義
１（３）含意の定義
といふ「定理（Theorem）」を用ひてもよいのであれば、
① Ｐであるか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、ＱでないならばＰである。
といふ「定理」は、「２２行の計算」で、「証明」出来る。
然るに、
（04）
１（８）含意の定義
１（３）含意の定義
といふ「定理（Theorem）」を用ひるためには、『含意の定義』といふ「定理（Theorem）」が、「証明済み」でなければならない。
然るに、
（05）
①    Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③                  Ｑ∨Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
①  ～Ｐ∨Ｑ
②　（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
③                  Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
①  ～Ｐ∨Ｑ
②　（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
③                  Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふ「こと自体」が、「教科書」に載ってゐる、『含意の定義』そのものである。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
（ⅰ）
１　　　（１）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ　　　　　　　Ａ　
　２　　（３）～～Ｐ　　　　　　　２
　２　　（４）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ
　　５　（５）　　　　Ｑ　　　　　Ａ
　　５　（６）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　５∨Ｉ
１　　　（７）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　１２４５６∨Ｅ
１　　　（８）　～Ｐ→Ｑ　　　　　７含意の定義
　　　９（９）　　　～Ｑ　　　　　Ａ
１　　９（ア）～～Ｐ　　　　　　　８９ＭＴＴ
１　　９（イ）　　Ｐ　　　　　　　９ＤＮ
１　　　（ウ）　～Ｑ→Ｐ　　　　　９イＣＰ
１　　　（エ）～Ｐ→Ｑ＆～Ｑ→Ｐ　８ウ＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）　～Ｐ→Ｑ＆～Ｑ→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　１＆Ｉ
１　　　（３）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　２含意の定義
　４　　（４）～～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　４　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　４ＤＮ
　４　　（６）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　５∨Ｉ
　　７　（７）　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
１　　　（９）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　３４６７８∨Ｅ
といふ「２２行の計算」は、例へば、「次（08）」のやうな、「５４行の計算」に、書き換へなければ、ならない。
（08）
（ⅰ）
１　　　　　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　　　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　　　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　２５ＲＡＡ
　　　７　　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　　２＆Ｅ
　２　７　　　　（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　７　　　　（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　２９ＲＡＡ
１　　　　　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　　　（ウ）　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　エ　　（エ）　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　ウエ　　（オ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ　　（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　　　（キ）　　　　～～Ｑ　　　　　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　　　（ク）　　　　　　Ｑ　　　　　　　キＤＮ
１　　　　　　　（ケ）　　～Ｐ→　Ｑ　　　　　　　ウクＣＰ
　　　　　　コ　（コ）　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
１　　　　　コ　（サ）　～～Ｐ　　　　　　　　　　ケコＭＴＴ
１　　　　　コ　（シ）　　　Ｐ　　　　　　　　　　サＤＮ
１　　　　　　　（ス）　　～Ｑ→　Ｐ　　　　　　　コシＣＰ
１　　　　　　　（ソ）（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）　ケス＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　　　　（１）　（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）　Ａ
１　　　　　　（２）　　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　　　　（３）　～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　（５）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　４∨Ｉ
　３４　　　　（６）　～（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ）　　３５＆Ｉ
　３　　　　　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　４６ＲＡＡ
１３　　　　　（８）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　２７ＭＰＰ
１３　　　　　（９）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　８∨Ｉ
１３　　　　　（ア）　～（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ）　　３９＆Ｉ
１　　　　　　（イ）～～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　３アＲＡＡ
１　　　　　　（ウ）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　イＤＮ
１　　　　　　（エ）　　～Ｑ→Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
　　　オ　　　（オ）　～（Ｑ∨Ｐ）　　　　　　　　Ａ
　　　　カ　　（カ）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　カ　　（キ）　　　Ｑ∨Ｐ　　　　　　　　　カ∨Ｉ
　　　オカ　　（ク）　～（Ｑ∨Ｐ）＆（Ｑ∨Ｐ）　　オキ＆Ｉ
　　　オ　　　（ケ）　　～Ｑ　　　　　　　　　　　カクＲＡＡ
１　　オ　　　（コ）　　　　　Ｐ　　　　　　　　　エケＭＰＰ
１　　オ　　　（サ）　　　Ｑ∨Ｐ　　　　　　　　　コ∨Ｉ
１　　オ　　　（シ）　～（Ｑ∨Ｐ）＆（Ｑ∨Ｐ）　　オサ＆Ｉ
１　　　　　　（ス）～～（Ｑ∨Ｐ）　　　　　　　　オスＲＡＡ
１　　　　　　（セ）　　　Ｑ∨Ｐ　　　　　　　　　スＤＮ
　　　　　ソ　（ソ）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　ソ　（タ）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　ソ∨Ｉ
　　　　　　チ（チ）　　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　チ（ツ）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　チ∨Ｉ
１　　　　　　（テ）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　セソタチツ∨Ｅ
１　　　　　　（ト）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ）　　　　ウテ＆Ｉ
１　　　　　　（ナ）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　　　ト＆Ｅ
従って、
（07）（08）により、
（09）
①    Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、ＱでないならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
① Ｐ∨Ｑ≡Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性である。
① Ｐ∨Ｑ≡Ａさんと、Ｂさんの、少なくとも、一方は、日本人である。
に於いて、「前者」を「排他的選言」といひ、「後者」を「両立的選言」といふ。
然るに、
（11）
「論理学」で用ひる、
① Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるか、Ｑである。
は、「両立的選言」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
命題Ｐ＝Ａさんは日本人である。
命題Ｑ＝Ｂさんは日本人である。
として、
① Ｐであるか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、ＱでないならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
（昭和堂、論理学の基礎、1994年、１１頁）
従って、
（10）（13）により、
（14）
① Ｐ∨Ｑ≡Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性であるかの、いづれかである。
のやうな、「排他的選言」は、
命題Ｐ＝Ａさんは男性である。
命題Ｑ＝Ａさんは女性である。
として、
① （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ風に、書くことになる。
然るに、
（15）
① Ａは犯人であるか、Ｂは犯人である。
といふ「言ひ方」よりも、
① Ａが犯人であるか、Ｂが犯人である。
といふ「言ひ方」の方が、「普通」である。
（16）
「単独犯であることが想定され、容疑者が、ＡとＢの、２しかゐない。」といふのであれば、
① Ａが犯人であるか、Ｂが犯人である。
といふのであって、
① Ａは犯人であるか、Ｂは犯人である。
とは、いはない。
従って、
（16）により、
（17）
① Ａが犯人である。
① Ｂが犯人である。
といふ「日本語」は、
① Ａは犯人であって、Ａ以外（Ｂ）は犯人ではない。
① Ｂは犯人であって、Ｂ以外（Ａ）は犯人ではない。
といふ、「意味」である。
然るに、
（18）
① Ａ以外は犯人ではない。
① Ｂ以外は犯人ではない。
の「対偶（Contraposition）」は、
① 犯人はＡ以外ではない。
① 犯人はＢ以外ではない。
である。
然るに、
（19）
① 犯人はＡ以外ではない。
① 犯人はＢ以外ではない。
といふことは、
① 犯人はＡである。
① 犯人はＢである。
といふことに、他ならない。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
① Ａが犯人である。⇔ Ａ以外は犯人ではない。⇔ 犯人はＡである。
① Ｂが犯人である。⇔ Ｂ以外は犯人ではない。⇔ 犯人はＢである。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（21）
１　　　　　　（１）∀ｘ｛犯人ｘ→［（ｘ＝ａ）∨（ｘ＝ｂ）］＆～（ａ＝ｂ）｝　Ａ
１　　　　　　（２）　　　犯人γ→［（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ）］＆～（ａ＝ｂ）　　１ＵＥ
　３　　　　　（３）　　　犯人γ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　　　（４）　　　　　　　［（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ）］＆～（ａ＝ｂ）　　２３ＭＰＰ
１３　　　　　（５）　　　　　　　　（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　６　　　　（６）　　　　　　　　（γ＝ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　６　　　　（７）　　　　　　～～（γ＝ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　６ＤＮ
　　６　　　　（８）　　　　　　～～（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　７∨Ｉ
　　　９　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　９　　　（ア）　　　　　　～～（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　９∨Ｉ
１３　　　　　（イ）　　　　　　～～（γ＝ａ）∨（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　５６８９アＥＥ
１３　　　　　（ウ）　　　　　　　～（γ＝ａ）→（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　イ含意の定義
　　　　エ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　～（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　Ａ
１３　　エ　　（オ）　　　　　　～～（γ＝ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　ウエＭＴＴ
１３　　エ　　（カ）　　　　　　　　（γ＝ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　オＤＮ
１３　　　　　（キ）　　　　　　　～（γ＝ｂ）→（γ＝ａ）　　　　　　　　　　エカＣＰ
　　　　　ク　（ク）　　　　　　∃ｘ（ｘ＝ａ＆犯人ｘ）　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　ケ（ケ）　　　　　　　　　γ＝ａ＆犯人γ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　ケ（コ）　　　　　　　　　γ＝ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　ケ＆Ｅ
１　　　　　　（サ）　　　　　　　～（ａ＝ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　　　　ケ（シ）　　　　　　　～（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　コサ＝Ｅ
１　　　　ク　（ス）　　　　　　　～（γ＝ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　クケシＥＥ
１３　　　ク　（セ）　　　　　　　　（γ＝ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　キスＭＰＰ
１　　　　ク　（ソ）　　　犯人γ→　（γ＝ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　３セＣＰ
１　　　　ク　（タ）∀ｘ｛犯人ｘ→　（ｘ＝ａ）｝　　　　　　　　　　　　　　　ソＵＩ
従って、
（21）により、
（22）
「ａとｂ」を「大文字」で書くと、
① ∀ｘ｛犯人ｘ→［（ｘ＝Ａ）∨（ｘ＝Ｂ）］＆～（Ａ＝Ｂ）｝。然るに、
② ∃ｘ（ｘ＝Ａ＆犯人ｘ）。従って、
③ ∀ｘ｛犯人ｘ→（ｘ＝Ａ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが犯人であるならば、ｘはＡであるか、ｘはＢであるが、ＡとＢは別人である。 然るに、
② 　　あるｘはＡであって、ｘは犯人である。 従って、
③ すべてのｘについて、ｘが犯人であるならば、ｘはＡである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（23）
③ ∀ｘ｛犯人ｘ→（ｘ＝Ａ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが犯人であるならば、ｘはＡである。
といふことは、
③ Only Ａ is the 犯人.
といふことである。
従って、
（20）（23）により、
（24）
③ ∀ｘ｛犯人ｘ→（ｘ＝Ａ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが犯人であるならば、ｘはＡである。
といふことは、
① Ａが犯人である。⇔ Ａ以外は犯人ではない。⇔ 犯人はＡである。
といふ、ことである。
従って、
（15）～（24）により、
（25）
① Ａが犯人であるか、Ｂが犯人である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛犯人ｘ→［（ｘ＝Ａ）∨（ｘ＝Ｂ）］＆～（Ａ＝Ｂ）｝
といふ「述語論理」に、対応する。
令和０２年０１月１７日、毛利太。