「日本は東京が首都である」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝　　Ａ
１　　　　　（２）∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝　　１量化子の関係
　３　　　　（３）　　～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　Ａ
　　４　　　（４）　　～日本ａ∨｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　Ａ
　　４　　　（５）　　　　日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　４含意の定義
　３４　　　（６）　　～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　３５＆Ｉ
　３　　　　（７）～［～日本ａ∨｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝］　４６ＲＡＡ
　３　　　　（８）　　日本ａ＆～｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　７ド・モルガンの法則
　３　　　　（９）　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　３　　　　（ア）　　　　　　～｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　８＆Ｅ
　３　　　　（イ）　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　ア、ド・モルガンの法則
　３　　　　（ウ）　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→～∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　イ含意の定義
　　　エ　　（エ）　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　エ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　ウエＭＰＰ
　３　エ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　オ含意の定義
　　　　キ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（首都ｃａ→ｃ＝ｙ）　　　Ａ
　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～首都ｃａ∨ｃ＝ｙ　　　　Ａ
　　　　　ク（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ→ｃ＝ｙ　　　　ク含意の定義
　　　　キク（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（首都ｃａ→ｃ＝ｙ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（首都ｃａ→ｃ＝ｙ）　　　キケ＆Ｉ
　　　　キ　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～首都ｃａ∨ｃ＝ｙ）　　　クコＲＡＡ
　　　　キ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ＆ｃ≠ｙ）　　　サ、ド・モルガンの法則
　　　　キ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　シＥＩ
　３　エ　　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　カキスＥＥ
　３　　　　（ソ）　　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　エセＣＰ
　３　　　　（タ）　　　　日本ａ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　９ソ＆Ｉ
　３　　　　（チ）　∃ｘ｛日本ｘ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｚ≠ｙ）｝　　タＥＩ
１　　　　　（ツ）　∃ｘ｛日本ｘ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｚ≠ｙ）｝　　２３チＥＥ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　∃ｘ｛日本ｘ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｚ≠ｙ）｝　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　日本ａ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　Ａ
　２　　　　（３）　　　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　　（４）　　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　２＆Ｅ
　　５　　　（５）　　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２５　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｚ≠ｙ）　　　４５ＭＰＰ
　　　７　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ＆ｃ≠ｙ　　　　Ａ
　　　　８　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ→ｃ＝ｙ　　　　Ａ
　　　７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７８　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝ｙ　　　　８９ＭＰＰ
　　　７　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ≠ｙ　　　　７＆Ｅ
　　　７８　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝ｙ＆ｃ≠ｙ　　　　アイ＆Ｉ
　　　７　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（首都ｃａ→ｃ＝ｙ）　　　８ウＲＡＡ
　　　７　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　エＥＩ
　２５　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　６７オＥＥ
　２５　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　カ量化子の関係
　２　　　　（ク）　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→～∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　５キＣＰ
　２　　　　（ケ）　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　ク含意の定義
　２　　　　（コ）　　　　　～｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆　∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　ケ、ド・モルガンの法則
　２　　　　（サ）　日本ａ＆～｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆　∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　３コ＆Ｉ
　　　　　シ（シ）　日本ａ→　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆　∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　Ａ
　２　　　　（ス）　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ＆Ｅ
　２　　　シ（セ）　　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）　　　サスＭＰＰ
　２　　　　（ソ）　　　　　　～｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　サ＆Ｅ
　２　　　シ（タ）　　　　　　　｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　～｛∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　セソ＆Ｉ
　２　　　　（チ）　　～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）｝　　シタＲＡＡ
　２　　　　（ツ）∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝　　チＥＩ
１　　　　　（テ）∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝　　１２ツＥＥ
１　　　　　（ト）～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝　　テ量化子の関係
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝
②   ∃ｘ｛日本ｘ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｚ≠ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝
②   ～∃ｘ｛日本ｘ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｚ≠ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① 　∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝
② ～∃ｘ｛日本ｘ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｚ≠ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが日本であるならば、あるｙは東京であって、ｙはｘの首都であり、　すべてのｚについて、ｚがｘの首都であるならば、ｚはｙと同一である。
② 　　あるｘについて、ｘが日本であって、　　あるｙが東京であって、ｙがｘの首都であるならば、　　　　　　あるｚはｘの首都であるが、　　ｚとｙが同一ではない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
② ｚとｙが同一ではない。といふことはない。
といふこと、すなはち、
② ～（ｚ≠ｙ）
といふことは、
② ｚはｙでない、ことはない。
といふことである。
然るに、
（06）
② ｚはｙでない。といふことはない。
といふことは、
② ｚはｙ以外である。といふことはない。
といふ、ことである。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① すべてのｘについて、ｘが日本であるならば、あるｙは東京であって、ｙはｘの首都であり、　すべてのｚについて、ｚがｘの首都であるならば、ｚはｙと同一である。
② 　　あるｘについて、ｘが日本であって、　　あるｙが東京であって、ｙがｘの首都であるならば、　　　　　　あるｚはｘの首都であるが、　　ｚとｙが同一ではない。といふことはない。
といふことは、
① 日本は東京が首都である。
② 日本は東京以外は首都ではない。
といふ、ことである。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① 　∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）｝
② ～∃ｘ｛日本ｘ＆∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｚ≠ｙ）｝
といふ「論理式」に於いて、
①＝② であるが故に。
① 日本は東京が首都である。
② 日本は東京以外は首都ではない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
① 東京が日本の首都である。
② 東京以外は日本の首都ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
東京は日本の首都です。例文帳に追加
Tokyo is the capital of Japan.
（Weblio和英辞書）
然るに、
（12）
さて定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。確かに、しかじかのひと（So-and-so）がいく人かの息子もっている場合でさえ、「the so of So-and-so」という表現を使用するが、本当はその場合には、「a so of So-and-so」という方がより正しいといえよう（勁草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、1986年、５３頁）。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① Tokyo is the capital of Japan.
に於いて、『定冠詞（the）は、それが厳密に用いられる』とするならば、
① 東京は日本の首都です。
ではなく、
① 東京が日本の首都です。
とするのが、「正しい」。
然るに、
（14）
いづれにせよ、
① 首都は、その国に、一つしかないのが、「普通」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① 東京は日本の首都です。
であっても、
① 東京が日本の首都です。
であっても、「実質的」には、「意味の違ひ」は無い。
然るに、
（16）
Ｑ：日本の首都は大阪ですか。
Ａ：いいえ、東京が日本の首都です。
であって、
Ｑ：日本の首都は大阪ですか。
Ａ：いいえ、東京は日本の首都です。
ではない。
（17）
Ｑ：日本の首都はどこですか。
Ａ：東京が日本の首都です。
であって、
Ｑ：日本の首都はどこですか。
Ａ：東京は日本の首都です。
ではない。
（08）（16）（17）により、
（18）
① 日本は東京が首都である。
② 日本は東京以外は首都ではない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② である。
といふことを、「意識」してゐる際には、確かに、
① 東京が日本の首都です。
といふ風に、言ってゐる。
従って、
（13）（15）（18）により、
（19）
② 日本の首都は東京以外には無い。
といふことは、
① 東京が日本の首都です。
と「言ひ得る」ための、「必要条件」であって、「十分条件」ではない。
すなはち、
（20）
② 日本の首都は東京以外には無い。
といふ「事実」が有り、その上で、
② 日本の首都は東京以外には無い。
といふことを、言ひたいのであれば、その場合には、
① 東京が日本の首都です。
と言ひ、
① 東京は日本の首都です。
とは、言はない。
といふ、ことになる。
令和０２年０１月０９日、毛利太。