（01）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） ～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５） ～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
６ （６） Ｑ Ａ
６ （７） ～～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８） ～～Ｐ∨Ｑ ２３５６７∨Ｅ
１ （９） ～Ｐ→Ｑ ８含意の定義
（ア）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １９ＣＰ
イ（イ）Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
イ（ウ）Ｐ イ＆Ｅ
イ（エ） ～Ｐ→Ｑ アウＭＰＰ
イ（オ） ～Ｐ イ＆Ｅ
イ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
（キ）Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ イカＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｐ→Ｑ ４含意の定義
６ （６） ～Ｑ Ａ
７ （７） ～Ｐ Ａ
２ ７ （８） Ｑ ５７ＭＰＰ
２６７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ６８＆Ｉ
２６ （ア）～～Ｐ ７９ＲＡＡ
２６ （イ） Ｐ アＤＮ
２ （ウ） ～Ｑ→Ｐ ６イＣＰ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） ～～Ｑ エＤＮ
エ （カ）～～Ｑ∨Ｐ オ∨Ｉ
エ （キ） ～Ｑ→Ｐ カ含意の定義
１ （ク） ～Ｑ→Ｐ １２ウエキ∨Ｅ
（ケ）（Ｐ∨Ｑ）→～Ｑ→Ｐ １クＣＰ
コ（コ）（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ Ａ
コ（サ）（Ｐ∨Ｑ） コ＆Ｅ
コ（シ） ～Ｑ→Ｐ ケサＭＰＰ
コ（ス） ～Ｑ コ＆Ｅ
コ（セ） Ｐ シスＭＰＰ
（ソ）（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ コセＣＰ
然るに、
（02）
「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、１６頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ├ Ｐ→Ｐ
② ├ Ｐ＆～Ｐ→Ｑ
③ ├ （Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ
然るに、
（04）
① ├ Ｐ→Ｐ
② ├ Ｐ＆～Ｐ→Ｑ
③ ├ （Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ
に於いて、
① の「仮定の数」は０個であって、
② の「仮定の数」も０個であって、
③ の「仮定の数」も０個である。
然るに、
（05）
定理（theorem）とは、仮定の数がゼロ個の証明可能な連式の結論である。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、６５頁）
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ├ Ｐ→Ｐ
② ├ Ｐ＆～Ｐ→Ｑ
③ ├ （Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ
に於いて、
① は「定理（theorem）」であって、
② も「定理（theorem）」であって、
③ も「定理（theorem）」である。
従って、
（06）により、
（07）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
① ├ 太陽が東から昇るならば、太陽は東から昇る。
② ├ 太陽が東から昇り、太陽が東から昇らないのであれば、バカボンのパパは天才である。
③ ├ 太陽が東から昇るか、バカボンのパパは天才である。として、バカボンのパパが天才でないならば、太陽は東から昇る。
に於いて、
① は「定理（theorem）」であって、
② も「定理（theorem）」であって、
③ も「定理（theorem）」である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ １含意の定義
２ （３）～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （４） ～Ｐ∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
２ （５） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ ∨Ｑ ６∨Ｉ
９（８） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ １２５６８∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ Ａ
１ （２）（～Ｐ∨ Ｐ）∨Ｑ １結合法則
３ （３）（～Ｐ∨ Ｐ） Ａ
３ （４）～（Ｐ＆～Ｐ） ３ド・モルガンの法則
３ （５）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ２３５６７∨Ｅ
１ （９） Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ ８含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ∨ Ｐ∨ Ｑ Ａ
１（２）～（Ｐ＆～Ｐ＆～Ｑ） １ド・モルガンの法則
（ⅳ）
１（１）～（Ｐ＆～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
１（２） ～Ｐ∨ Ｐ∨ Ｑ １ド・モルガンの法則
従って、
（10）により、
（11）
③ ～Ｐ∨ Ｐ∨ Ｑ
④ ～（Ｐ＆～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（09）（11）により、
（12）
② Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ∨ Ｑ
④ ～（Ｐ＆～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
②＝③＝④ である。
従って、
（12）により、
（13）
② Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ ≡Ｐであって、Ｐでないならば、Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｐ∨ Ｑ ≡Ｐでないか、Ｐであるか、 Ｑである。
④ ～（Ｐ＆～Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、Ｐでなくて、 Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（14）
④ ～（Ａ＆Ｂ＆Ｃ）≡Ａであって、Ｂであって、Ｃである。といふことはない。
といふことは、
④ Ａ、Ｂ、Ｃ、の、３つとも「本当（真）」である。といふことはない。
といふことである。
然るに、
（15）
④ Ａ、Ｂ、Ｃ、の、３つとも、「本当（真）」である。といふことはない。
といふことは、
④ Ａ、Ｂ、Ｃ、の内の、２つが「本当（真）」である。ならば、３番目は、「ウソ（偽）」である。
といふ、ことである。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
② Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ ≡Ｐであって、Ｐでないならば、Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｐ∨ Ｑ ≡Ｐでないか、Ｐであるか、 Ｑである。
④ ～（Ｐ＆～Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、Ｐでなくて、 Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（1st.）Ｐである。が「本当（真）」であって、
（2nd.）Ｐでない。が「本当（真）」であるならば、
（3rd.）Ｑでない。は「ウソ（偽）」である。
然るに、
（17）
（3rd.）Ｑでない。が「ウソ（偽）」である。
といふことは、
（3rd.）Ｑである。が「本当（真）」である。
といふことである。
従って、
（16）（17）により、
（18）
② Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ ≡Ｐであって、Ｐでないならば、Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｐ∨ Ｑ ≡Ｐでないか、Ｐであるか、 Ｑである。
④ ～（Ｐ＆～Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、Ｐでなくて、 Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（1st.）Ｐである。が「本当（真）」であって、
（2nd.）Ｐでない。も「本当（真）」であるならば、
（3rd.）Ｑである。も「本当（真）」である。
然るに、
（19）
（1st.）Ｐである。が「本当（真）」であって、
（2nd.）Ｐでない。も「本当（真）」である。
といふこと（矛盾）は、「有り得ない」。
従って、
（13）（18）（19）により、
（20）
② Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ ≡Ｐであって、Ｐでないならば、Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｐ∨ Ｑ ≡Ｐでないか、Ｐであるか、 Ｑである。
④ ～（Ｐ＆～Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、Ｐでなくて、 Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（1st.）Ｐである。が「本当（真）」であって、
（2nd.）Ｐでない。が「本当（真）」である。
といふこと（矛盾）は、「有り得ない」が故に、
（3rd.）Ｑである。が「本当（真）」である。
といふことは、
② からは「演繹」出来ないし、
③ からは「演繹」出来ないし、
④ からは「演繹」出来ない。
従って、
（07）（20）により、
（21）
② ├ 太陽が東から昇り、太陽が東から昇らないのであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ「定理（theorem）」からは、
② バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」は、「絶対に、演繹」出来ない。
従って、
（21）により、
（22）
② ├ 太陽が東から昇り、太陽が東から昇らないのであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ「定理（theorem）」は、「真（本当）」であるとしても、
② バカボンのパパが天才であるか、天才でないのかは、「分からない」。
然るに、
（07）により、
（23）
③ ├ 太陽が東から昇るか、バカボンのパパは天才である。として、バカボンのパパが天才でないならば、太陽は東から昇る。
といふ「定理（選言三段論法）」からは、
③ 太陽は東から昇る。
といふ「命題」を、「演繹」出来る。
従って、
（01）～（23）により、
（24）
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡Ｐであって、Ｐでないならば、Ｑである。
といふ「定理（theorem）」、すなはち、
②「矛盾」を「前件」とする「仮言命題」は、
② その「後件」を、「演繹」出来ない。
然るに、
（25）
（数学的な意味での）矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる、というものがある。背理法は、
命題￢φを仮定して矛盾が導けたら命題φを推論できる
と定式化できる。考えている体系において何らかの矛盾が成立していたとすると、形式的な仮定「￢Ｂ」をおいても（これは全く使わずに）矛盾を導けるということになる。従ってＢの二重否定￢￢Ｂが推論できることになり、二重否定は無視できる（排中律）ことから結局Ｂが推論できたことになる。ただし、古典論理ではない直観論理などでは排中律や背理法は成立しない（ウィキペディア）。
然るに、
（26）
（数学的な意味での）矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる。
といふやうな「大学の、数学の先生が考へてゐる、難しいこと」は、文系出身の私には、よく分からない。
然るに、
（27）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨バカボンのパパは天才である。 ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→バカボンのパパは天才である。 ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６） バカボンのパパは天才である。 ４５ＭＴＴ
（７）Ｐ＆～Ｐ→バカボンのパパは天才である。 １６ＣＰ
（〃） 矛 盾 →バカボンのパパは天才である。 １６ＣＰ
といふ「計算」であれば、私にも、出来ないわけではない。
然るに、
（28）
３７ １（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、６３頁）
従って、
（28）により、
（29）
E.J.レモン先生は、「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」は、「仮定」しても良いが、「否定すべきである」。
といふ風に、教へてゐる。
従って、
（25）～（29）により、
（30）
「矛盾を含まない体系」であっても、「矛盾を含む体系」であっても、いづれにせよ、「矛盾」を「容認」しなければ、
「どんな命題を導くこともできる。」といふことには、ならないはずである。
（31）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ４カ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ） １コＣＰ
シ（ス）Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
シ（セ）Ｐ シ＆Ｅ
シ（ソ） ～Ｐ→ Ｑ サセＭＰＰ
シ（タ） ～Ｐ シ＆Ｅ
シ（チ） Ｑ ソタＭＰＰ
（ツ）Ｐ＆ ～Ｐ→ Ｑ ツチＣＰ
であるため、「E.J.レモンの、原始的規則（Premitive rules）」といふ「体系」から、
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡Ｐであって、Ｐでないならば、Ｑである。
といふ「定理」が「演繹」出来るものの、
② Ｐ＆～Ｐ
は「矛盾」であって、「矛盾」は、「必ず、偽（ウソ）である」。
然るに、
（32）
２ 推論の規則
論理式Ａ と、Ａ→Ｂ がともに真ならば、論理式Ｂ も真である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３・４頁）
従って、
（31）（32）により、
（33）
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡Ｐであって、Ｐでないならば、Ｑである。
であれば、
② Ａ ≡Ｐ＆～Ｐ
② Ａ→Ｂ≡Ｐ＆～Ｐ→Ｑ
であって、
② Ａ（矛盾）は、「真（本当）」ではなく、「偽（ウソ）」である。
従って、
（32）（33）により、
（34）
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡Ｐであって、Ｐでないならば、Ｑである。
といふ「定理」は、
倫理式Ａ と、Ａ→Ｂ がともに真ならば、論理式Ｂ も真である。
といふ「例（case）」には、「絶対に、ならない」。
令和０２年０１月１３日、毛利太。
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