（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
ウエ （オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
コ （コ） ～Ｑ Ａ
サ（サ） ～Ｐ Ａ
コサ（シ） ～Ｐ＆～Ｑ サコ＆Ｉ
１ コサ（ス）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イサ＆Ｉ
１ コ （セ） ～～Ｐ サスＲＡＡ
１ コ （ソ） Ｐ セＤＮ
１ （タ） ～Ｑ→ Ｐ コソＣＰ
１ （チ）（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） ケタ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
３ （３） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｐ ４６ＲＡＡ
１３ （８） Ｑ ２７ＭＰＰ
１３ （９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１３ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ３９＆Ｉ
１ （イ）～～（Ｐ∨Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） Ｐ∨Ｑ イＤＮ
１ （エ） ～Ｑ→Ｐ １＆Ｅ
オ （オ） ～（Ｑ∨Ｐ） Ａ
カ （カ） Ｑ Ａ
カ （キ） Ｑ∨Ｐ カ∨Ｉ
オカ （ク） ～（Ｑ∨Ｐ）＆（Ｑ∨Ｐ） オキ＆Ｉ
オ （ケ） ～Ｑ カクＲＡＡ
１ オ （コ） Ｐ エケＭＰＰ
１ オ （サ） Ｑ∨Ｐ コ∨Ｉ
１ オ （シ） ～（Ｑ∨Ｐ）＆（Ｑ∨Ｐ） オサ＆Ｉ
１ （ス）～～（Ｑ∨Ｐ） オスＲＡＡ
１ （セ） Ｑ∨Ｐ スＤＮ
ソ （ソ） Ｑ Ａ
ソ （タ） Ｐ∨Ｑ ソ∨Ｉ
チ（チ） Ｐ Ａ
チ（ツ） Ｐ∨Ｑ チ∨Ｉ
１ （テ） Ｐ∨Ｑ セソタチツ∨Ｅ
１ （ト）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｑ） ウテ＆Ｉ
１ （ナ） Ｐ∨Ｑ ト＆Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ （Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
然るに、
（05）
④ （Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
は、「対偶（Contraposition）」であるため、
④ （Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
⑤ Ｐ→Ｑ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ Ｐ→Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
ｃｆ.
「含意の定義」といふ。
然るに、
（07）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
といふ「論理式」を、「日本語」で言ふと、
① Ｐか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、Ｑでないならば、Ｐである。
といふことになる。
従って、
（03）（07）により、
（08）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
といふ「論理式」は、
① Ｐか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、Ｑでないならば、Ｐである。
といふ「意味」であり、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
命題Ｐ＝自然数Ｎは偶数である。
命題Ｑ＝自然数Ｎは奇数である。
とすると、
① Ｎは偶数であるか、奇数である。
② Ｎが偶数でないならば、Ｎは奇数であり、Ｎが奇数でないならば、Ｎは偶数である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ∨Ｑ
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
といふ「論理式」は、「当り前」のことを、言ってゐるに、過ぎない。
従って、
（01）（10）により、
（11）
（01）で示した「命題計算（Propositional calculus）」は、「当り前」のことを「演繹」するために、「５６行もの計算」をしてゐる。
然るに、
（12）
仮に、
１（１） Ｐ∨Ｑ Ａ
１（２）（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） 選言の規則
のやうに、『選言の規則』といふ「規則（Rule）」を認めるとする。
然るに、
（13）
『仮定の規則（Ａ）、肯定肯定式（ＭＰＰ）、否定否定式（ＭＴＴ）、二重否定（ＤＮ）、条件的証明（ＣＰ）、連言導入（＆Ｉ）、連言除去（＆Ｅ）、選言導入（∨Ｉ）、選言除去（∨Ｅ）、背理法（ＲＡＡ）』は、ゲンツェン（G.Gentzen）に由来する、「自然演繹の規則（Rules）」である。
従って、
（01）（11）（12）（13）により、
（14）
仮に、ゲンツェン（G.Gentzen）が、「肯定肯定式」を「規則」とせずに、『選言の規則』を「規則」としてゐたならば、
（01）で示した「５６行の計算」は、「２行」で、「終はる」ことになる。
（15）
「命題計算（Propositional calculus）」は、「一種の、パズル」なので、「２行で終る計算」は、つまらなく、「５６行もかかる計算」の方が、楽しい。
（16）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝③ は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（17）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２（２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
といふ風に、「仮定（Assumpt）」すれば、それだけで、「仮定（１）」と「仮定（２）」は「矛盾」する。
従って、
（18）
① Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝③ であることを、「証明」するためには、
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２（２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
に対して、「背理法（ＲＡＡ）」を用ひるべく、「選言除去（∨Ｅ）」を用ゐることなる。
従って、
（17）（18）により、
（19）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （カ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（19）により、
（20）
① Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
① ならば、③ であり、
③ ならば、① である。
従って、
（20）により、
（21）
① Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（03）（21）により、
（22）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（23）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」を、「日本語」で言ふと、
① Ｐか、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑであり、Ｑでないならば、Ｐである。
③ Ｐではないし、 Ｑでもない。といふことはない。
といふことになる。
従って、
（23）により、
（24）
命題Ｐ＝Ａさんは男性である。
命題Ｑ＝Ａさんは女性である。
とすると、
① Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性である。
② Ａさんが男性でないならば、Ａさんは女性であり、Ａさんが女性でないならば、Ａさんは男性である。
③ Ａさんが男性ではなく、尚且つ、Ａさんが女性でない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（25）
① Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性である。
② Ａさんが男性でないならば、Ａさんは女性であり、Ａさんが女性でないならば、Ａさんは男性である。
③ Ａさんが男性ではなく、尚且つ、Ａさんが女性でない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことを、理解できない、「日本語の話者」は、ゐないはずである。
従って、
（23）（24）（25）により、
（26）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「日本語」としても、「正しい」。
然るに、
（27）
① Ｐ∨Ｑ≡Ａさんは男性であるか、Ａさんは女性である。
① Ｐ∨Ｑ≡少なくとも、Ａさんか、Ｂさんの、どちらかは、日本人である。
に於いて、「前者」を「排他的選言」といひ、「後者」を「両立的選言」といふ。
然るに、
（28）
①「少なくとも、Ａさんか、Ｂさんは、日本人である。」としても、
②「Ａさんが、日本人でない。」のであれば、「Ｂさんは日本人であり」、
②「Ｂさんが、日本人でない。」のであれば、「Ａさんは日本人であり」、
③「Ａさんが日本人ではく、Ｂさんも日本人ではない。」といふことはない。
従って、
（25）～（28）により、
（29）
① Ｐ∨ Ｑ
② （～Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
① が、「排他的選言」であっても、
① が、「両立的選言」であっても、
①＝②＝③ である。
といふことは、「日本語」としても、「正しい」。
然るに、
（30）
仮に、「論理学」に於いて、「Ｐ∨Ｑ」が、「両立的選言」ではなく、「排他的選言」であるならば、そのときに限って、
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） ～Ｑ １２排他的選言
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（31）
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） ～Ｑ １２排他的選言
といふ「計算」は、「マチガイ」であって、「正しくない」。
従って、
（29）（30）（31）により、
（32）
「論理学」に於ける「Ｐ∨Ｑ」は、「両立的選言」であって、「排他的選言」ではない。
然るに、
（33）
「論理学」に於ける「Ｐ∨Ｑ」は、「排他的選言」ではないにしても、
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２ド・モルガンの法則
１ （４） Ｐ→～Ｑ ３含意の定義
５ （５） Ｐ Ａ
１５ （６） ～Ｑ ４５ＭＰＰ
１ （７） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
７ （８） Ｐ Ａ
７ （９）～～Ｐ ８ＤＮ
７ （ア）～～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
イ （イ） Ｑ Ａ
イ （ウ）～～Ｐ∨Ｑ イ∨Ｉ
１ （エ）～～Ｐ∨Ｑ ７８アイウＥＥ
１ （オ） ～Ｐ→Ｑ エ含意の定義
カ（カ） ～Ｐ Ａ
１ カ（キ） Ｑ オカＭＰＰ
従って、
（33）により、
（34）
（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）であって、
Ｐならば、～Ｑであって、
～Ｐならば、 Ｑである。
従って、
（31）～（34）により、
（35）
「論理学」に於いて、
「Ｐ∨Ｑ」が、「排他的選言」ではなく、「両立的選言」であるにせよ、
「（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）」と書けば、
「（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）」は、「両立的選言」ではなく、「排他的選言」である。
令和０２年０１月１６日、毛利太。
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