―『返り点に対する「括弧」の用法。』といふ「ブログ」なのに、長い間、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
（01）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｒ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｑ ２＆Ｅ
４（４） Ｒ＆Ｑ Ａ
４（５） Ｑ ４＆Ｅ
１ （６） Ｑ １２３４５∨Ｅ
といふ「計算」は、「正しい」。
従って、
（02）
Ａ＝Ｐ＆Ｑ
Ｂ＝Ｑ＆Ｒ
であるとして、
１ （１）（Ａ）∨（Ｂ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｑ ２＆Ｅ
４（４） Ｒ＆Ｑ Ａ
４（５） Ｑ ４＆Ｅ
１ （６） Ｑ １２３４５∨Ｅ
といふ「計算」は、「正しい」。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ａであるか、または、Ｂである。
として、
② Ａだけから、Ｑが「演繹」でき、
③ Ｂだけから、Ｑが「演繹」できるならば、その時に、
④ 初めて、「∨Ｅ（選言除去）」といふ「規則」を満たしてゐる。
従って、
（04）
① Ａであるか、Ｂである。
として、
② ＡとＢの両方を用ひて、
③ Ｑを「演繹」したならば、
④ その場合は、「∨Ｅ（選言除去）」といふ「規則」に「違反」してゐる。
従って、
（05）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
１２ （３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（６） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
７ （７） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
８ （８） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ→Ｑ ８含意の定義
７８ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） ７９＆Ｉ
７ （イ）～（～Ｐ∨Ｑ） ８アＲＡＡ
７ （ウ） Ｐ＆～Ｑ イ、ド・モルガンの法則
７ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
オ （カ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） オ∨Ｉ
（キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ６７エオカ∨Ｅ
ク （ク） Ｐ＆～Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ ク＆Ｅ
コ （コ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
クコ （サ） Ｑ ケコＭＰＰ
クコ （シ） ～Ｑ ク＆Ｅ
クコ （ス） ～Ｑ＆Ｑ サシ＆Ｉ
ク （セ） ～（Ｐ→Ｑ） コスＲＡＡ
ソ（ソ） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
ソ（タ） Ｐ→Ｑ ソ含意の定義
ク ソ（チ） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） セタ＆Ｉ
ク （ツ） ～（～Ｐ∨Ｑ） ソチＲＡＡ
ク （テ） Ｐ＆～Ｑ ツ、ド・モルガンの法則
ク （ト） Ｐ テ＆Ｅ
（ナ） Ｐ キクケコト∨Ｅ
といふ「計算」の、
（キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ６７エオカ∨Ｅ
ク （ク） Ｐ＆～Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ ク＆Ｅ
コ （コ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
クコ （サ） Ｑ ケコＭＰＰ
といふ「部分」が、「∨Ｅ（選言除去）」といふ「規則」に「違反」してゐる。
やうに、見えないこともない。
然るに、
（06）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」により、
～（Ｐ→Ｑ）≡～（～Ｐ∨Ｑ）≡（Ｐ＆～Ｑ）
であるため、右の「計算」は、次（06）のやうに、書くことが出来る。
（07）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
１２ （３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→ Ｑ ２３ＣＰ
（５） （Ｐ→ Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（６）～（Ｐ→ Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
（７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ６の、左の選言項に対して、含意の定義＆ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア （ア） （Ｐ→Ｑ） Ａ
８ア （イ） Ｑ ９アＭＰＰ
８ア （ウ） ～Ｑ ８＆Ｅ
８ア （エ） ～Ｑ＆Ｑ イウ＆Ｉ
８ （オ） ～（Ｐ→Ｑ） アエＲＡＡ
８ （カ） Ｐ＆～Ｑ オ含意の定義＆ド・モルガンの法則
８ （キ） Ｐ カ＆Ｅ
（ク） Ｐ ７８９アキ∨Ｅ
然るに、
（08）
（７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ６の、左の選言項に対して、含意の定義＆ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア （ア） （Ｐ→Ｑ） Ａ
８ア （イ） Ｑ ９アＭＰＰ
であるものの、その一方で、「最初の１行目」自体が、
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
であるため、さうなると、「∨Ｅ（選言除去）」といふ「規則」に「違反」してゐる。
とは、「単純には、言へない」のではと思ひ、そのため、「2020年1月21日火曜日」では、「右（05）」のような「計算」をした、次第である。
然るに、
（09）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ（同一律）
（３） ～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義（排中律）
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
４ （７） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ４４＆Ｉ
４ （８）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６ド・モルガンの法則
８ （９） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
８ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ９含意の定義
４８ （イ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ８ア＆Ｉ
４ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ９イＲＡＡ
４ （エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
（キ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ３４エオカ∨Ｅ
（ク） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
の場合は、
（ⅱ）
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
４ （７） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ４４＆Ｉ
４ （８）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６ド・モルガンの法則
８ （９） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
８ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ９含意の定義
４８ （イ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ８ア＆Ｉ
４ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ９イＲＡＡ
４ （エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
であって、
（ⅲ）
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
であるため、
（３） ～Ｐ∨Ｐ
の～Ｐ だけから、
４ （エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
が「演繹」出来てゐて、
（３） ～Ｐ∨Ｐ
のＰ だけから、
オ（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
が「演繹」出来てゐる。
従って、
（03）（10）により、
（11）
（キ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ３４エオカ∨Ｅ
は、「正しく」、それ故、
（ク） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
も、「正しい」。
然るに、
（12）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「パースの法則」といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
① Ａ→Ｂ の場合は、
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於ける、
② 真→偽
だけが、「全体として、偽」になる。
従って、
（13）（14）により、
（15）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が、「全体として、偽」であるためには、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→偽
でなければ、ならない。
然るに、
（16）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→偽
であるならば、他の２つのＰも「偽」であるため、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（偽→Ｑ）→偽）→偽
である。
然るに、
（17）
①（（偽→Ｑ）→偽）→偽
であって、
① Ｑが「真」であるならば、
①（（偽→真）→偽）→偽
である。
（18）
①（（偽→Ｑ）→偽）→偽
であって、
② Ｑが「偽」であるならば、
②（（偽→偽）→偽）→偽
従って、
（14）～（18）により、
（19）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が、「全体として、偽」であるためには、
①（（偽→真）→偽）→偽
②（（偽→偽）→偽）→偽
の内の、「どちら」かである。
然るに、
（14）（19）により、
（20）
①（（偽→真）→偽）→偽
②（（偽→偽）→偽）→偽
であれば、
①（（真）→偽）→偽
②（（真）→偽）→偽
であって、
①（（真）→偽）→偽
②（（真）→偽）→偽
であれば、
①（偽）→偽
②（偽）→偽
である。
然るに、
（14）（20）により、
（21）
①（偽）→偽
②（偽）→偽
は、両方とも、「真」である。
従って、
（14）～（21）により、
（22）
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於ける、
② 真→偽
だけが、「全体として、偽」になるが故に、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
の場合は、「全体として、偽」になることが出来ず、それ故、「恒に、真（トートロジー）」である。
然るに、
（23）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
然るに、
（24）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ（同一律）
（３） ～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義（排中律）
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨～Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→～Ｑ ４含意の定義
４ （７） （Ｐ→～Ｑ）＆～Ｐ ４４＆Ｉ
４ （８）～（～（Ｐ→～Ｑ）∨ Ｐ） ６ド・モルガンの法則
８ （９） （Ｐ→～Ｑ）→ Ｐ Ａ
８ （ア） ～（Ｐ→～Ｑ）∨ Ｐ ９含意の定義
４８ （イ）～（～（Ｐ→～Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→～Ｑ）∨ Ｐ） ８ア＆Ｉ
４ （ウ） ～（（Ｐ→～Ｑ）→ Ｐ） ９イＲＡＡ
４ （エ） ～（（Ｐ→～Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→～Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
（キ） ～（（Ｐ→～Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ３４エオカ∨Ｅ
（ク） （（Ｐ→～Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
（〃） （（Ｐならば～Ｑ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
従って、
（23）（24）により、
（25）
「恒真式（トートロジー）」の「定義」からすれば、「当然」であるものの、
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substituution）」を行って得られる。
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「式」も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（25）により、
（26）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」であるため、「日本語」で言へば、
①（（ＰであるならばＱである）ならばＰであるならば）Ｐである。
②（（ＰであるならばＱでない）ならばＰであるならば）Ｐである。
は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（27）
①（（ＰであるならばＱである）ならばＰであるならば）Ｐである。
②（（ＰであるならばＱでない）ならばＰであるならば）Ｐである。
といふことは、「一言」で言へば、
③（（Ｐであるならば、ＱであらうとＱでなからうと）Ｐであるならば）Ｐである。
といふことである。
然るに、
（10）（24）により、
（28）
「突き詰めて書く」と、「１８行の計算」は、
１ （１） Ｐ Ａ
（ク） （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
（〃） （（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
といふ「２行の計算」に、「まとめられる」。
従って、
（09）（26）（27）（28）により、
（29）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
とは言ふものの、
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐであるならば、ＱであらうとＱでなからうと）Ｐであるならば）Ｐである。
といふ「パースの法則」は、「変なもの」であるどころか、「少しも、変ではなく、尚且つ、明らかに、真である」。
然るに、
（30）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（30）により、
（31）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（23）（31）により、
（32）
① （ （（ （Ｐ →Ｑ）） →Ｐ）→ Ｐ）
② （ （（～（Ｐ＆～Ｑ）） →Ｐ）→ Ｐ）
③ （～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）→ Ｐ）
④ ～（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）＆～Ｐ）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（33）
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。
に於いて、
①＝② であるが、
②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。
といふのであれば、
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
よりも、「もっと、変」であって、
② は、「分けが、分からない」。
然るに、
（29）（31）（33）により、
（34）
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。
に於いて、
① は「パースの法則」であるならば、
② も「パースの法則」そのものである。
従って、
（09）（34）により、
（35）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価である命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
～（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）＆～Ｐ）
が成り立つ
（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。
なんか、パズルのような命題ですね。
といふ「言ひ方」も、可能である。
令和０２年０１月２７日、毛利太。
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