「素朴・対偶論」（Ⅱ）。

（01）
「交換法則」により、
①（Ｐであって、Ｑでない。）
②（Ｑでなくて、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「日本語話者の直観」として、
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
といふことは、
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｑでないならば、Ｐでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② であるが故に、
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝② であるものの、この「等式」を、「素朴・対偶論」とする。
然るに、
（05）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
といふ「日本語」は、「命題論理の記号」で表すと、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～（～Ｑ＆Ｐ）
といふ風に、書くことになる。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
（ⅲ）
１　　（１）～（～Ｑ＆Ｐ）　　Ａ
１　　（２）～～Ｑ∨～Ｐ　　　１ド・モルガンの法則
１　　（３）　～Ｑ→～Ｐ　　　２含意の定義
（ⅳ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　　　Ａ
　２　（２）　～Ｑ＆　Ｐ　　　Ａ
　２　（３）　～Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　～Ｐ　　　１３ＣＰ
　２　（５）　　　　　Ｐ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　～Ｐ＆Ｐ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（～Ｑ＆Ｐ）　　２６ＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②     Ｐ→　Ｑ
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）
④   ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨  Ｑ    １ド・モルガンの法則
　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　３　（４）　　Ｑ∨～Ｐ　　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　　Ｑ　　Ａ
　　５（６）　　Ｑ∨～Ｐ　　５∨Ｉ
１　　（７）　　Ｑ∨～Ｐ　　２３４５６∨Ｅ
１　　（８）～（～Ｑ＆Ｐ）　７ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１　　（１）～（～Ｑ＆Ｐ）　Ａ
１　　（２）　　Ｑ∨～Ｐ　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）　　Ｑ　　　　　Ａ
　３　（４）　～Ｐ∨　Ｑ　　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　～Ｐ　　Ａ
　　５（６）　～Ｐ∨　Ｑ　　５∨Ｉ
１　　（７）　～Ｐ∨　Ｑ　　２３４５６∨Ｅ
１　　（８）～（Ｐ＆～Ｑ）　７ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（07）（09）により、
（10）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②     Ｐ→　Ｑ
③ ～（～Ｑ＆Ｐ）
④   ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
①＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
「番号」を付け直すと、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～（～Ｑ＆Ｐ）
に於いて、
①＝② であるが故に、
①     Ｐ→　Ｑ
② 　～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（11）により、
（12）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
② ～（～Ｑ＆Ｐ）≡（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② であるが故に、
①     Ｐ→　Ｑ  ≡Ｐであるならば、Ｑである。
② 　～Ｑ→～Ｐ　≡Ｑでないならば、Ｐでない。
といふ「素朴・対偶論」は、「命題論理（Propositional logic）」としても、「正しい」。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）　１量化子の関係
１（３）　　～（象ａ＆～動物ａ）　２ＵＥ
１（４）　　　～象ａ∨　動物ａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　象ａ→　動物ａ　　４含意の定義
１（６）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　５ＵＩ
（ⅱ）
１（１）　∀ｘ（象ａ→　動物ａ）　Ａ
１（２）　　　　象ａ→　動物ａ　　１ＵＥ
１（３）　　　～象ａ∨　動物ａ　　２含意の定義
１（４）　　～（象ａ＆～動物ａ）　３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）　４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　５量化子の関係
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ～（～動物ｘ＆　象ｘ）　量化子の関係
１（３）　　～（～動物ａ＆　象ａ）　２ＵＥ
１（４）　　　～～動物ａ∨～象ａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　～動物ａ→～象ａ　　４含意の定義
１（６）　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）　５ＵＩ
（ⅳ）
１（１）　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）　Ａ
１（２）　　　　～動物ａ→～象ａ　　１ＵＥ
１（３）　　　～～動物ａ∨～象ａ　　２含意の定義
１（４）　　～（～動物ａ＆　象ａ）　３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（～動物ｘ＆　象ｘ）　４ＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
① ～∃ｘ（　象ｘ＆～動物ｘ）
② 　∀ｘ（　象ｘ→　動物ｘ）
③ ～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）
④ 　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（15）
（ⅰ）　
１　　（１）　～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　Ａ
１　　（２）　∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）　１量化子の関係
１　　（３）　　　～（象ａ＆～動物ａ）　２ＵＥ
１　　（４）　　　　～象ａ∨　動物ａ　　３ド・モルガンの法則
　５　（５）　　　　～象ａ　　　　　　　Ａ
　５　（６）　　　　　動物ａ∨～象ａ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　　動物ａ　　Ａ
　　７（８）　　　　　動物ａ∨～象ａ　　７∨Ｉ
１　　（９）　　　　　動物ａ∨～象ａ　　４５６７８∨Ｅ
１　　（ア）　　～（～動物ａ＆　象ａ）　９ド・モルガンの法則
１　　（イ）∀ｘ～（～動物ｘ＆　象ｘ）　アＵＩ
１　　（ウ）～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）　イ量化子の関係
（ⅲ）
１　　（１）～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）　１
１　　（２）∀ｘ～（～動物ｘ＆　象ｘ）　１量化子の関係
１　　（３）　　～（～動物ａ＆　象ａ）　２ＵＥ
１　　（４）　　　　　動物ａ∨～象ａ　　３ド・モルガンの法則
　５　（５）　　　　　動物ａ　　　　　　Ａ
　５　（６）　　　　　～象ａ∨動物ａ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　　～象ａ　　Ａ
　　７（８）　　　　　～象ａ∨動物ａ　　７∨Ｉ
１　　（９）　　　　　～象ａ∨動物ａ　　４５６７８∨Ｅ
１　　（ア）　　　～（象ａ＆～動物ａ）　９ド・モルガンの法則
１　　（イ）　∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）　アＵＩ
１　　（ウ）　～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　イＵＩ
従って、
（15）により、
（16）
① ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
③ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（14）（16）により、
（17）
① ～∃ｘ（　象ｘ＆～動物ｘ）
② 　∀ｘ（　象ｘ→　動物ｘ）
③ ～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）
④ 　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
①＝③ である。
従って、
（18）
「番号」を付け直すと、
① ～∃ｘ（　象ｘ＆～動物ｘ）
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）
に於いて、
①＝② であるが故に、
① 　∀ｘ（　象ｘ→　動物ｘ）
② 　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（18）により、
（19）
① ～∃ｘ（　象ｘ＆～動物ｘ）≡（象であって、動物でない。）といふことはない。
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）≡（動物でなくて、象である。）といふことはない。
に於いて、
①＝② であるが故に、
① 　∀ｘ（　象ｘ→　動物ｘ）≡象であるならば、動物である。
② 　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）≡動物でないならば、象である。
といふ「素朴・対偶論」は、「述語論理（Predicate logic）」としても、「正しい」。
（20）
表紙に、『風が吹けば桶屋が儲かる』と墨で書かれた「古文書」に、
「元和元年１月１９日、風吹く。」と墨書かれていゐて、
「元和元年１月２０日、儲かる。」と墨で書かれてゐたとすれば、「日付を示す、文字の筆跡の、集合」を考へることが、出来る。
従って、
（20）により、
（21）
「風が吹く日」　　ではなく　　「風が吹く日の、日付の、筆跡の集合」と、
「桶屋が儲かる日」ではなく「桶屋が儲かる日の、日付の、筆跡の集合」を考へれば、
『風が吹けば桶屋が儲かる』といふ「命題」は、
① ～∃ｘ（　象ｘ＆～動物ｘ）≡（象であって、動物でない。）といふことはない。
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）≡（動物でなくて、象である。）といふことはない。
① 　∀ｘ（　象ｘ→　動物ｘ）≡　象であるならば、動物である。
② 　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）≡　動物でないならば、象である。
といふ「命題」と、「同じ種類の命題」であると、見做すことが出来る。
然るに、
（22）
① ～∃ｘ（　象ｘ＆～動物ｘ）≡（象であって、動物でない。）といふことはない。
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）≡（動物でなくて、象である。）といふことはない。
① 　∀ｘ（　象ｘ→　動物ｘ）≡　象であるならば、動物である。
② 　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）≡　動物でないならば、象である。
といふ「命題」は、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「意味」である。
然るに、
（23）
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふことは、
①「象の集合」が、「動物の集合」に、「含まれる」といふことであり、
①「象の集合」が、「動物の集合」に、「含まれる」といふことは、
①「象の集合」が、「動物の集合」の、「部分集合」である。
といふことである。
然るに、
（24）
① 地球上に、ただ一頭の象だけが、存在してゐて、その一頭が、「消滅」すれば、その時点で、「象の集合」は、「空集合φ」である。
然るに、
（25）
①「象の集合」が、「空集合φ」であるならば、
① 象は存在しないのだから、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「仮言命題」自体が、「意味」をなさない。
従って、
（22）～（25）により、
（26）
① ～∃ｘ（　象ｘ＆～動物ｘ）≡（象であって、動物でない。）といふことはない。
② ～∃ｘ（～動物ｘ＆　象ｘ）≡（動物でなくて、象である。）といふことはない。
① 　∀ｘ（　象ｘ→　動物ｘ）≡　象であるならば、動物である。
② 　∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）≡　動物でないならば、象である。
といふ「命題」が、
① 象が存在するならば、象は動物である。
といふ「意味」である以上、
① 象が存在しない。
といふことが、「確定」してゐるのであれば、その場合は、「これまでの説明」は、「意味」をなさない。
従って、
（20）～（26）により、
（27）
①「象の集合」が　　　　「空集合φ」で、
②「風の吹く日の集合」が「空集合φ」である場合には、「素朴・対偶論」は、成立しない。
従って、
（28）
①「空集合φ」そのものに対して、「素朴・対偶論」を、用ひることは、出来ない。
従って、
（28）により、
（29）
『素朴・対偶論について（2020-01-18 18:57:19 | 論理学）。』でも書いた通り、
　　（10）
　　① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
　　② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
　　といふことは、「素朴・対偶論」としても、「正しい」のだらうか。
　　と、「自問中」です。
　　（11）
　　自問した「結果」だけを書くものの、
　　① 風が吹けば、桶屋が儲かる。
　　② 桶屋が儲からなければ、風は吹かない。
　　に対して、
　　① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
　　② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
　　は、「素朴・対偶論」ではありません。
　　といふ、ことになる。
然るに、
（30）
任意の集合Ａと、空集合φに対して、
∀ｘ｛ｘ∈φ→ｘ∈Ａ｝≡すべてのｘについて、ｘがφにの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ「命題」が、「真→真」としてではなく、「偽→偽」として、「真」である。
といふことは、私自身も、もちろん、知ってゐる。
然るに、
（31）
だからと言って、
　　① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
　　② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
　　が、「素朴・対偶論」である。
といふことには、ならない。
令和０２年０１月１９日、毛利太。