（01）
①｛象、机｝
②｛象、兎｝
に於いて、
① ならば、｛象が動物である（机は動物ではない）。｝は「本当（真）」であり、
② ならば、｛象が動物である（兎は動物ではない）。｝は「ウソ（偽）」である。
従って、
（02）
①｛象、□｝
に於いて、
①｛□が動物でない。｝ならば、そのときに限って、
①｛象が動物である。｝は、「本当」である。
従って、
（02）により、
（03）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（03）により、
（04）
① 鼻が長い。⇔
① 鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（06）
① 象は鼻が長い。
といふことは、
① 象ならば、鼻が長い。
といふ、ことである。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象ならば鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（08）
① 象ならば鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことは、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ、ことである。
従って、
（08）により、
（09）
① 象ならば鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことは、「記号」で書くならば、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ、ことである。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）（10）により、
（11）
② 象が鼻が長い。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くなく、象以外は、鼻以外は長くない、といふことはない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象でないならば、あるｙが、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない、といふことはない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（12）
② ～象→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
③ ［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］→象ｘ
に於いて、
②＝③ は「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］→象ｘ｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
「Ｄｆ.⇔」により、
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］→象ｘ｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
②＝④ である。
（13）（14）により、
（15）
「番号」を付け直すと、
「Ｄｆ.⇔」により、
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］→象ｘ｝⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２ＵＥ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３＆Ｅ
１ （５）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３＆Ｅ
６ （６）～象ａ Ａ
１６ （７） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５６ＭＰＰ
１６ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
９ （ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９量化子の関係
イ （イ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ウ （ウ） 鼻ｂａ∨～長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ウ含意の定義
イウ （オ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ）＆
（～鼻ｂａ→～長ｂ） イエ＆Ｉ
イ （カ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ウオＲＡＡ
イ （キ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ カ、ド・モルガンの法則
イ （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キＥＩ
９ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アイクＥＥ
９ （コ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ケ∨Ｉ
サ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
サ （シ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） サ∨Ｉ
１６ （ス） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８９コサシ∨Ｅ
１６ （セ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ス含意の定義
１ （ソ） ～象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６セＣＰ
タ（タ） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
タ（チ） ～象ａ タ＆Ｅ
１ タ（ツ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ソチＭＰＰ
タ（テ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） タ＆Ｅ
１ タ（ト） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ツテＭＰＰ
１ （ナ） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） タトＣＰ
１ （ニ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４ナ＆Ｉ
１ （ヌ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ニＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２＆Ｅ
１ （４） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ～象ａ Ａ
６ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
５６ （７） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５６＆Ｉ
１５６ （８） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４７ＭＰＰ
１５ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６８ＣＰ
１ （ア） ～象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ５９ＣＰ
イ （イ） ～象ａ Ａ
１ イ （ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アイＭＰＰ
１ イ （エ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウ含意の定義
オ （オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
カ （カ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
キ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ Ａ
カ （ク） ～鼻ｂａ カ＆Ｅ
カキ （ケ） ～長ｂ キクＭＰＰ
カ （コ） 長ｂ カ＆Ｅ
カキ （サ） ～長ｂ＆長ｂ ケコ＆Ｉ
カ （シ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） キサＲＡＡ
カ （ス） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） シＥＩ
オ （セ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） オカスＥＥ
オ （ソ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） セ量化子の関係
オ （タ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ソ∨Ｉ
チ（チ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
チ（ツ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） タ∨Ｉ
１ イ （テ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エオタチツ∨Ｅ
１ イ （ト） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ テ、ド・モルガンの法則
１ （ナ）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ イトＣＰ
１ （ニ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３ナ＆Ｉ
１ （ヌ） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ニＤｆ.⇔
１ （ネ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ヌＵＩ
従って、
（16）により、
（17）
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］→象ｘ｝ ⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ ⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、 すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、
ｘが象ではなく、 あるｙが ｘの鼻であって、長いならば、あるｚは、 ｘの鼻ではなくて、 長い。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（11）（18）により、
（19）
① 象が鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くなく、象以外は、鼻以外は長くない、といふことはない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、 すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、
ｘが象ではなく、 あるｙが ｘの鼻であって、長いならば、あるｚは、 ｘの鼻ではなくて、 長い。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（20）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、 すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、
ｘが象ではなく、 あるｙが ｘの鼻であって、長いならば、あるｚは、 ｘの鼻ではなくて、 長い。
といふことは、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くないものの、象以外に、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻以外も長い。
といふ「意味」である。
従って、
（19）（20）により、
（21）
① 鼻が長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふ「日本語」は、
① 象が鼻が長い。
といふ「日本語」に、「等しい」。
従って、
（21）により、
（22）
｛象、兎、馬｝に於いて、
① 象が鼻が長い。
② 兎が耳が長い。
③ 馬が顔が長い。
と言ふのであれば、
① 鼻が長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
② 耳が長く、耳以外は長くない動物は、兎だけである。
③ 顔が長く、顔以外は長くない動物は、馬だけである。
といふ、ことになる。
令和０２年正月０４日、毛利太。
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