～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐ→Ｑ）は、「含意の定義」。

（01）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①     Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰであってＱでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅲ）
１　　（１）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　Ａ
１　　（３）　　　　象ａ→　動物ａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　象ａ＆～動物ａ　　Ａ
　　４（５）　　　　象ａ　　　　　　　４＆Ｅ
　　４（６）　　　　　　　～動物ａ　　４＆Ｅ
１　４（７）　　　　　　　　動物ａ　　３５ＭＰＰ
１　４（８）　　　～動物ａ＆動物ａ　　６７＆Ｉ
１２　（９）　　　～動物ａ＆動物ａ　　２４８ＥＥ
１　　（ア）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　２９ＲＡＡ
（ⅳ）
１　　（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　Ａ
　２　（２）　　～（象ａ→　動物ａ）　　Ａ
　　３（３）　　　～象ａ∨　動物ａ　　　Ａ
　　３（４）　　　　象ａ→　動物ａ　　　３含意の定義
　２３（５）　　～（象ａ→　動物ａ）＆
　　　　　　　　　（象ａ→　動物ａ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　～（～象ａ∨　動物ａ）　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　象ａ＆～動物ａ　　　６ド・モルガンの法則
　２　（８）　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　７ＥＩ
１２　（９）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）＆
　　　　　　　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　１８＆Ｉ
１　　（ア）　～～（象ａ→　動物ａ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　　（象ａ→　動物ａ）　　アＤＮ
１　　（ウ）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　イＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
③   ∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
④ ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
④ あるｘが象であって、そのｘが動物でない。といふことはない。
に於いて、
③＝④ である。
（05）
（ⅴ）
１　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　Ａ
　２　（２）　∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　Ａ
１　　（３）　　　　象ａ→　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　Ａ
　　４（５）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４（６）　　　　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　４＆Ｅ
１　４（７）　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　　３５ＭＰＰ
１　４（８）　　　　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］＆
　　　　　　　　　　　　　　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　６７＆Ｉ
１２　（９）　　　　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］＆
　　　　　　　　　　　　　　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　２４８ＥＥ
１　　（ア）～∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　２９ＲＡＡ
（ⅵ）
１　　（１）～∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　　Ａ
　２　（２）　　～｛象ａ→　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　　Ａ
　　３（３）　　　～象ａ∨　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　Ａ
　　３（４）　　　　象ａ→　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　４含意の定義
　２３（５）　　～｛象ａ→　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝＆
　　　　　　　　　｛象ａ→　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　　２４＆Ｉ
　２　（６）　～｛～象ａ∨　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　６ド・モルガンの法則
　２　（８）　∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　　７ＥＩ
１２　（９）～∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝＆
　　　　　　　∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　　１８＆Ｉ
１　　（ア）　～～｛象ａ→　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　　｛象ａ→　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　　アＤＮ
１　　（ウ）　∀ｘ｛象ａ→　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　　イＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
⑤   ∀ｘ｛象ｘ→　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ～∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
⑥ あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふことはない。といふことはない。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
（07）
（ⅶ）
１　　　　（１）～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］　Ａ
１　　　　（２）　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　１ド・モルガンの法則
　３　　　（３）　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　Ａ
　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　３量化子の関係
　　５　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂｘ→～長ｂ）　　Ａ
　　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂｘ∨～長ｂ　　　Ａ
　　　６　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂｘ→～長ｂ　　　６含意の定義
　　５６　（８）　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂｘ→～長ｂ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～鼻ｂｘ→～長ｂ）　　６７＆Ｉ
　　５　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂｘ∨～長ｂ）　　６８ＲＡＡ
　　５　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂｘ＆　長ｂ　　　９ド・モルガンの法則
　　５　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　アＥＩ
　３　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　３５イＥＥ
　３　　　（エ）　　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　ウ∨Ｉ
　　　　オ（オ）　　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　オ∨Ｉ
１　　　　（キ）　　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　２３エオカ∨Ｅ
１　　　　（ク）　　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　キ含意の定義
（ⅷ）
１　　　　（１）　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　Ａ
１　　　　（２）　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　１含意の定義
　３　　　（３）　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　Ａ
　　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂｘ＆　長ｂ　　　Ａ
　　　６　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂｘ∨～長ｂ）　　６ド・モルガンの法則
　　　　８（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂｘ→～長ｂ　　　Ａ
　　　　８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂｘ∨～長ｂ　　　８含意の定義
　　　６８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂｘ∨～長ｂ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ｂｘ∨～長ｂ）　　７９＆Ｉ
　　　６　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂｘ→～長ｂ）　　８アＲＡＡ
　　　６　（ウ）　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　イＥＩ
　　５　　（エ）　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　５６ウＥＥ
　　５　　（オ）　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　エ量化子の関係
　　５　　（カ）　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　オ∨Ｉ
１　　　　（キ）　～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　２３４５カ∨Ｅ
１　　　　（ク）～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］　キ、ド・モルガンの法則
従って、
（07）により、
（08）
⑥ ～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
⑦     ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
に於いて、すなはち、
⑥ あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふことはない。
⑦ あるｙがｘの鼻であって、長いならば、　　　　　あるｚはｘの鼻ではないが、　ｚは長い。
に於いて、
⑥＝⑦ である。
然るに、
（06）（08）により、
（09）
⑤   ∀ｘ｛象ｘ→　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ～∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑦ 　　　　　　　～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
⑧   　　　　　　　  ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）   　　　　　　　
に於いて、それぞれ、
⑤＝⑥ であって、
⑦＝⑧ である。
従って、
（09）により、
（10）　　
「代入（Substitution）」を行ふと、
⑤   ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
⑥ 　　あるｘが　　　　　　象であって、　　あるｙがｘの鼻であって、長いのであれば、　　　あるｚがｘの鼻でなくて、　　　　長い。といふことはない。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（11）
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
⑥ 　　あるｘが　　　　　　象であって、　　あるｙがｘの鼻であって、長いのであれば、　　　あるｚがｘの鼻でなくて、　　　　長い。といふことはない。
といふことは、両方とも、
⑤ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
⑥ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことであり、それ故、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（02）（08）により、
（12）
①     Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③　　 ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
④ ～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
に於いて、
①＝② であって、
⑦＝⑧ である。
従って、
（12）により、
（13）
①     Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「命題論理」に於いて、
　Ｐ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
　Ｑ＝∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
～Ｑ＝∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
でなければ、ならない。
従って、
（13）により、
（14）
～Ｑ＝～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
～Ｑ＝　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
でなければ、ならない。
従って、
（14）により、
（15）
① ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
②   ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
に於いて、
①＝② ではない。
としたら、ここ迄の「説明」は、「台無し」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　Ａ
１（２）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　１量化子の関係
１（３）　　～（～鼻ｂｘ＆　長ｂ）　２ＵＥ
１（４）　　　　　鼻ｂｘ∨～長ｂ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　～鼻ｂｘ→～長ｂ　　４含意の定義
１（６）　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　５ＵＩ
（ⅱ）
１（１）　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　Ａ
１（２）　　　　～鼻ｂｘ→～長ｂ　　１ＵＥ
１（３）　　　　　鼻ｂｘ∨～長ｂ　　２含意の定義
１（４）　　～（～鼻ｂｘ＆　長ｂ）　３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　４ＵＩ
１（６）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　５量化子の関係
従って、
（16）により、
（17）
① ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
②   ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
に於いて、確かに、
①＝② である。
従って、
（01）～（17）により、
（18）
①     Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③   ∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
④ ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
⑤   ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ である。
といふ「等式」は、すべて、「日本語」で言へば、
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰであってＱでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
といふことに、由来する。
令和０２年０１月０６日、毛利太。