「命題論理」の「仮定」と「矛盾」について。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ
　　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義
　４　　（４）　　　　～Ｐ　　　　Ａ
　４　　（５）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　４∨Ｉ
　４　　（６）　　　　　Ｐ→Ｑ　　５含意の定義
　４　　（７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　６∨Ｉ
　　８　（８）　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　８　（９）　　　　　～～Ｐ　　８ＤＮ
　　８　（ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　９∨Ｉ
　　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ
　　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義
　　　エ（エ）　～Ｐ＆　Ｐ　　　　Ａ
　　　エ（オ）　～Ｐ　　　　　　　エ＆Ｅ
　　　エ（カ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　ウオＭＰＰ
　　　エ（キ）　　　　　Ｐ　　　　エ＆Ｅ
　　　エ（ク）　　　　　　　Ｑ　　カキＭＰＰ
　　　　（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ　　エクＣＰ
といふ「計算」に於いて、「左側」に書かれた「数字と片仮名」は、「仮定」が行はれた際の、「その行」を表してゐる。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）に於ける、「仮定」そのものを、「左側」に書くならば、
（ⅰ）は、
Ｐ　　　（１）　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ
　　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義
～Ｐ　　（４）　　　　～Ｐ　　　　Ａ
～Ｐ　　（５）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　４∨Ｉ
～Ｐ　　（６）　　　　　Ｐ→Ｑ　　５含意の定義
～Ｐ　　（７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　６∨Ｉ
　　Ｐ　（８）　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　Ｐ　（９）　　　　　～～Ｐ　　８ＤＮ
　　Ｐ　（ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　９∨Ｉ
　　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ
　　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義
～Ｐ＆Ｐ（エ）　～Ｐ＆　Ｐ　　　　Ａ
～Ｐ＆Ｐ（オ）　～Ｐ　　　　　　　エ＆Ｅ
～Ｐ＆Ｐ（カ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　ウオＭＰＰ
～Ｐ＆Ｐ（キ）　　　　　Ｐ　　　　エ＆Ｅ
～Ｐ＆Ｐ（ク）　　　　　　　Ｑ　　カキＭＰＰ
　　　　（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ　　エクＣＰ
といふ風に、書くことになる。
従って、
（02）により、
（03）
　　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ
　　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義
　　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ
　　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義
　　　　（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ　　エクＣＰ
とふいふ「５行」に関しては、「仮定」の数が「０個」である。
然るに、
（04）
「仮定」の数が「０個」である。
といふことは、「特定の仮定」に「依存」しなくとも「真」である。
といふことである。
然るに、
（05）
「特定の仮定」に「依存」しなくとも「真」である。
といふことは、「恒に真である」といふことである。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
　　　　（２）　Ｐ→Ｐ（同一律）
　　　　（３）～Ｐ∨Ｐ（排中律）
　　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
　　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）
　　　　（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
といふこれらの「５つ式」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１　　（１）　Ｑ→　Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｐ　Ａ
　　３（３）　Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｐ＆Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｐ→～Ｑ　２６ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｑ　Ａ
　　３（３）　～Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｑ＆～Ｑ　２４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｐ　　　　２ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　２７ＣＰ
従って、
（07）により
（08）
② 　Ｑ→　Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、「対偶（Contraposition）」に於いて、
②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
　Ｐ≡太陽は西から、昇る。
～Ｐ≡太陽は西からは昇らない。
　Ｑ≡バカボンのパパは天才である。
～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
であるとして、
① 　Ｑ→　Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
② ～Ｐ→～Ｑ≡太陽が西から昇らないならば、バカボンのパパは天才ではない。
といふ「仮言命題」に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
「常識」として、
～Ｐ≡太陽は西から昇らない（東から昇る）。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１　（１）　Ｑ→Ｐ　Ａ
　２（２）　　～Ｐ　Ａ
１２（３）～Ｑ　　　１２ＭＴＴ
従って、
（08）～（11）により、
（12）
② Ｑ→Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
といふ「言ひ方」は、
②　 ～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
といふ「言ひ方」に「等しい」。
然るに、
（13）
（ⅱ）
１　（１）　Ｑ→Ｐ　Ａ
　２（２）　　～Ｐ　Ａ
１２（３）～Ｑ　　　１２ＭＴＴ
に対して、
（ⅲ）
１　（１）　　　Ｐ　Ａ
１　（２）～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ
１　（３）　Ｑ→Ｐ　２含意の定義
　４（４）　　～Ｐ　Ａ
１４（５）～Ｑ　　　３４ＭＴＴ
である。
然るに、
（02）（13）により、
（14）
（ⅱ）
１　（１）　Ｑ→Ｐ　Ａ
　２（２）　　～Ｐ　Ａ
１２（３）～Ｑ　　　１２ＭＴＴ
（ⅲ）
１　（１）　　　Ｐ　Ａ
１　（２）～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ
１　（３）　Ｑ→Ｐ　２含意の定義
　４（４）　　～Ｐ　Ａ
１４（５）～Ｑ　　　３４ＭＴＴ
は、「仮定」そのものを、「左側」に書くならば、
（ⅱ）
Ｑ→Ｐ　　　（１）　Ｑ→Ｐ　Ａ
　　　　～Ｐ（２）　　～Ｐ　Ａ
Ｑ→Ｐ，～Ｐ（３）～Ｑ　　　１２ＭＴＴ
（ⅲ）
　　Ｐ　　　（１）　　　Ｐ　Ａ
　　Ｐ　　　（２）～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ
　　Ｐ　　　（３）　Ｑ→Ｐ　２含意の定義
　　　　～Ｐ（４）　　～Ｐ　Ａ
　　Ｐ，～Ｐ（５）～Ｑ　　　３４ＭＴＴ
従って、
（14）により、
（15）
（ⅱ）Ｑ→Ｐ，～Ｐ（３）～Ｑ　１２ＭＴＴ
（ⅲ）　　Ｐ，～Ｐ（５）～Ｑ　３４ＭＴＴ
は、それぞれ、「結論」としては、
② ～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
③ ～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
で「同じ」であっても、
② バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。
③ 太陽は西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。
となるため、「論証」としては、「同じ」ではない。
然るに、
（16）
③ 太陽は西から昇り、尚且つ、太陽は西からは昇らない。
といふことは、「矛盾（Contradiction）」に他ならない。
然るに、
（17）
　矛盾からは何でも証明できる
⊥（矛盾）がかかわる推論規則がもう一つあります。それは、という内容を持った推論規則で、その名も「矛盾」です。
（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１６４頁）
従って、
（16）（17）により、
（18）
（ⅱ）Ｐ，～Ｐ├ Ｑ
（ⅱ）太陽は西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。
といふ「連式（推論）」は、「健全（sound）」ではないが、「妥当（valid）」である。
然るに、
（06)(09)により、
（19）
③（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）ならば、バカボンのパパは天才である。
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（20）
③（～Ｐ＆Ｐ）
③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）
といふ「矛盾」は、「恒に偽である」所の、「恒偽式（contradiction）」である。
然るに、
（21）
２ 推論の規則
論理式 Ａ と、論理式 Ａ→Ｂ が共に真ならば、論理式 Ｂ も真である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７４頁）
然るに、
（19）（20）により、
（22）
③（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）ならば、バカボンのパパは天才である。
は「恒に真」であっても、
③（～Ｐ＆Ｐ）
③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）
は「恒に偽」であるため、
Ａ　　≡（～Ｐ＆Ｐ）
Ａ→Ｂ≡（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
であるとして、
論理式 Ａ 　　と、
論理式 Ａ→Ｂ が共に真なる。
といふことは、「絶対に無い」。
従って、
（18）～（22）により、
（23）
（ⅱ）～Ｐ，Ｐ├ Ｑ
（ⅱ）太陽は西からは昇らない。然るに、太陽は西から昇る。故に、バカボンのパパは天才である。
といふ「連式（推論）」は、「妥当（valid）」であるが、だからと言って、この「推論」からは、
（ⅱ）バカボンのパパが天才である。
といふことには、ならない。
令和０２年０１月３０日、毛利太。