「素朴・対偶論」について。

（01）
① ＰとＱが「等しい」ならば、そのときに限って、
② Ｐである。といふことはない。
③ Ｑである。といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（02）
①「交換法則」により、
② Ａであって、Ｂでない。
③ Ｂでなくて、Ａである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
②（Ａであって、Ｂでない）といふことはない。
③（Ｂでなくて、Ａである）といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（04）
②（Ａであって、Ｂでない）といふことはない。
③（Ｂでなくて、Ａである）といふことはない。
といふことは、
② Ａであるならば、Ｂである。
③ Ｂでないならば、Ａでない。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
② Ａであるならば、Ｂである。
③ Ｂでないならば、Ａでない。
に於いて、
②＝③ であるものの、このことを、「素朴・対偶論」とする。
然るに、
（06）
「空集合φ」は、「要素ｘを、１つも持たない」。
従って、
（06）により、
（07）
任意の集合Ａに於いて、
要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
従って、
（08）
「対偶」を取ると、
要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
然るに、
（07）（08）により、
（09）
要素ｘがφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
といふことは、
空集合φが、任意の集合Ａの、「部分集合」である。
といふことである。
然るに、
（10）
① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
といふことは、「素朴・対偶論」としても、「正しい」のだらうか。
と、「自問中」です。
（11）
自問した「結果」だけを書くものの、
① 風が吹けば、桶屋が儲かる。
② 桶屋が儲からなければ、風は吹かない。 に対して、
① 要素ｘがＡの要素でないならば、要素ｘはφの要素でない。
② 要素ｘはφの要素であるならば、要素ｘはＡの要素である。
は、「素朴・対偶論」ではありません。
令和０２年０１月１８日、毛利太。