（01）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
さっぱりわけわからないですが。排中律を使って、つまり、Ｐが真の場合と偽の場合に場合分けすることで、これが成り立つことを示すことができます。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（02）
（１） Ｐ→Ｐ ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）
（２） ～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
３ （６） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６ド・モルガンの法則
８ （８） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
８ （９） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ８含意の定義
３８ （ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ７９＆Ｉ
３ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ８アＲＡＡ
３ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ イ∨Ｉ
エ（エ） Ｐ Ａ
エ（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ エ∨Ｉ
（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １３ウエオ∨Ｅ
（キ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ カ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
然るに、
（03）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ、「パースの法則」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
１２ （３） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） １２ＭＴＴ
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ Ａ
４ （５） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ ４含意の定義
１２４ （６） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） ３５＆Ｉ
１２ （７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ） ４６ＲＡＡ（背理法）
１２ （８） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ７ド・モルガンの法則
１２ （９） （Ｐ→Ｑ） ８＆Ｅ
１２ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９含意の定義
１２ （イ） Ｑ∨～Ｐ ア交換法則
ウ （ウ） Ｑ Ａ
ウ （エ） ～～Ｑ ウＤＮ
ウ （オ） ～～Ｑ∨～Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） ～Ｐ Ａ
カ（キ） ～～Ｑ∨～Ｐ カ∨Ｉ
１２ （ク） ～～Ｑ∨～Ｐ イウオカキ∨Ｅ
１２ （ケ） ～Ｑ→～Ｐ ク含意の定義
１ （コ）～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ２ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （３） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
５ （５） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
６ （６） Ｐ Ａ
６ （７） ～～Ｐ ６ＤＮ
５６ （８） ～～Ｑ ５７ＭＴＴ
５６ （９） Ｑ ８ＤＮ
５ （ア） Ｐ→ Ｑ ６９ＣＰ
４５ （イ） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ４ア＆Ｉ
４ （ウ） ～（～Ｑ→～Ｐ） ５イＲＡＡ（背理法）
エ（エ） Ｐ Ａ
エ（オ） ～～Ｐ エＤＮ
５ エ（カ） ～～Ｑ ５オＭＴＴ
５ エ（キ） Ｑ カＤＮ
５ （ク） Ｐ→ Ｑ エキＣＰ
４５ （ケ） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ４ク＆Ｉ
４ （コ） ～（～Ｑ→～Ｐ） ５ケＲＡＡ（背理法）
２ （サ） ～（～Ｑ→～Ｐ） ３４ウエコ∨Ｅ
１２ （シ）～～Ｐ １サＭＴＴ
１２ （ス） Ｐ シＤＮ
１ （セ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ２スＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
従って、
（06）により、
（07）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
１２ （３） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） １２ＭＴＴ
から、
１ （コ）～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ２ＣＰ
といふ「結果」を得た。といふことは、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（04）（08）により、
（09）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
① が、「恒真式（トートロジー）」である以上、当然、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（10）
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
Ａ＝～Ｐ
Ｂ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ Ａ→（Ｂ→Ａ）
といふ「式」になる。
然るに、
（11）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ Ａ→（Ｂ→Ａ）
③ Ａならば（ＢならばＡである）。
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
１ （１） Ａ 仮定
１ （２） ～Ｂ∨ Ａ １∨Ｉ
３ （３） Ｂ＆～Ａ 仮定
４ （４） ～Ｂ 仮定
３ （５） Ｂ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｂ＆Ｂ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｂ＆～Ａ） ３６ＲＡＡ（背理法）
８ （８） Ａ 仮定
３ （９） ～Ａ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ａ＆～Ａ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｂ＆～Ａ） ３アＲＡＡ（背理法）
１ （ウ）～（Ｂ＆～Ａ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｂ 仮定
オ（オ） ～Ａ 仮定
エオ（カ） Ｂ＆～Ａ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｂ＆～Ａ）＆
（Ｂ＆～Ａ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ａ オＤＮ
１ エ （ケ） Ａ ク
１ （コ） Ｂ→Ａ エケＣＰ
（サ）Ａ→（Ｂ→Ａ） １コＣＰ
（〃）Ａならば（ＢならばＡである）。 １コＣＰ
従って、
（03）（12）（13）により、
（14）
③ Ａ→（Ｂ→Ａ）
③ Ａならば（ＢならばＡである）。
は、果たして、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（09）～（14）により、
（15）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
③ Ａ→（Ｂ→Ａ）
に於いて、
①と② は、「 対偶 」として、「同じ」であって、
②と③ は、「代入例」として、「同じ」である。
従って、
（15）により、
（16）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
③ Ａ→（Ｂ→Ａ）
③ Ａならば（ＢならばＡである）。
に於いて、
①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。
従って、
（16）により、
（17）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
③ Ａ→（Ｂ→Ａ）
③ Ａならば（ＢならばＡである）。
に於いて、
①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。
従って、
（17）により、
（18）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③ Ｐならば（ＱならばＰである）。
に於いて、
①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。
然るに、
（19）
［公理］
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（01）（18）（19）により、
（20）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③ Ｐならば（ＱならばＰである）。
に於いて、
①「パースの法則」と、
③「ルカジェヴィッツによる公理（１）」は、「論理的」には、「同じ」である。
然るに、
（21）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、「パースの法則」があります。
といふのであれば、
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、「ルカジェヴィッツによる公理（１）」があります。
といふことになる。
然るに、
（22）
背理法を絶対に認めない人たちの会
背理法ってありますよね。高校あたりで習ったような気がする。
Ｐでないと仮定する。そしたら、矛盾が生じた。
矛盾が生じたのは、Ｐでないと仮定したからだ。
なのでＰである。
……いいんじゃないでしょうか。何が問題なんでしょうか?
ここで言っているのは、
"「Ｐではない」ではないならば、Ｐである"
つまり、否定を～で表すと「～～ＰならばＰ」だと言ってます。
……何か問題が?
けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（23）
（ａ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ（背理法）
２ （７） Ｐ ６ＤＮ（二重否定の除去）
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ（背理法）
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ（二重否定の除去）
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ（背理法）
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ（背理法）
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ８カＲＡＡ（背理法）
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ（二重否定の除去）
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ｃ）～Ｐ∨Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ（背理法）
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｄ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｑ Ａ
２３ （４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ（背理法）
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ（二重否定の除去）
１ （８） Ｐ→Ｑ ２７ＣＰ
９ （９） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
ア （ア） ～Ｐ Ａ
ア （イ） ～Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
９ア （ウ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ９イ＆Ｉ
９ （エ） ～～Ｐ アウＲＡＡ（背理法）
９ （オ） Ｐ エＤＮ（二重否定の除去）
１ ９ （カ） Ｑ ８オＭＰＰ
１ ９ （キ） ～Ｐ∨Ｑ カ∨Ｉ
１ ９ （ク） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ９キ＆Ｉ
１ （ケ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ９クＲＡＡ（背理法）
１ （コ） ～Ｐ∨Ｑ ケＤＮ（二重否定の除去）
従って、
（23）により、
（24）
（ⅰ） Ｐ→Ｑ ⇔ ～Ｐ∨ Ｑ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ ⇔ ～（Ｐ＆～Ｑ）
である。
従って、
（24）により、
（25）
（ⅰ） Ｐ→Ｑ ⇔ ～Ｐ∨ Ｑ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ ⇔ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅰ） Ｐ→Ｐ ⇔ ～Ｐ∨ Ｐ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｐ ⇔ ～（Ｐ＆～Ｐ）
といふことなる。
従って、
（25）により、
（26）
「同一律」とは、「排中律」であって、
「排中律」とは、「矛盾律」である。
従って、
（22）（23）（26）により、
（27）
「背理法を絶対に、認めない人たちの会」の方たちは、
「二重否定の除去を認めない人たちの会」の会員であり、
「同一律・矛盾律を認めない人たちの会」の会員である。
といふ、ことになる。
（28）
排中律を否定したからといって、数学そのものがなくなるわけではありません。有限集合については排中律は依然として正しいので、「否定」というよりもむしろ「制限」というべきかもしれませんが、そのような仮定の下では、パラドックスが発生しないばかりか、数学の論証根拠はより堅固ものになるのです（吉永良正、ゲーデル・不完全定理、1992年、１６６頁）。
といふことなので、私自身は、「背理法・二重否定の除去」に関しては、これまで通り、「何らの疑問」を待たないままで、ゐることにする。
令和０２年０１月２４日、毛利太。
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