「代入」と「二重否定」について。

（01）
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
に於いて、
Ａ＝１
Ｂ＝０
といふ「代入」を行ふと、
１＋０＝０＋１
（02）
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
に於いて、
Ａ＝１０
Ｂ＝２０
といふ「代入」を行ふと、
１０＋２０＝２０＋１０
従って、
（01）（02）により、
（03）
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
といふ「等式」は、
『ＡとＢに、「特定の数値」を代入した際に、「左辺の数値」と「右辺の数値」は「同じ」になる。』
といふ「意味」である。
（04）
① Ｐ∨Ｑ≡Ｑ∨Ｐ
といふ「（命題計算の）等式」も、
『ＰとＱに、「特定の数値」を代入した際に、「左辺の数値」と「右辺の数値」は「同じ」になる。』
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
「命題計算（Propositional calculus）」に於ける「数値」は、「１（真）」と「０（偽）」しかなく、これらの「値」を「真理値」といふ。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ∨Ｑ≡Ｑ∨Ｐ
といふことは、
① １＝１　であるか、
① ０＝０　であるかの、いづれか、一方である。
然るに、
（07）
② ～Ｐ∨　Ｐ　は、「恒に、真（１）」であって、
② 　Ｐ∨～Ｐ　も、「恒に、真（１）」である。
従って、
（07）により、
（08）
② ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐ∨～Ｐ
の場合は、
② ０＝０　ではなく、必ず、恒に、
② １＝１　である。
然るに、
（09）
② 　　　　　　　　～Ｐ∨Ｐ≡Ｐ∨～Ｐ
③ ～（Ｑ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）≡（Ｑ＆Ｒ）∨～（Ｑ＆Ｒ）
に於いて、
③ は、② に対して、
Ｐ＝（Ｑ＆Ｒ）
といふ「代入（Substitutione）」を行った「結果」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② 　　　　　　　　～Ｐ∨Ｐ≡Ｐ∨～Ｐ
③ ～（Ｑ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）≡（Ｑ＆Ｒ）∨～（Ｑ＆Ｒ）
であれば、２つとも、必ず、
② １＝１　であって、
③ １＝１　である。
然るに、
（11）
④ 　Ｐ≡Ｐである。
⑤ ～Ｐ≡Ｐでない。
に於いて、
　Ｐ＝１（真）
であれば、
～Ｐ＝０（偽）
であって、
　Ｐ＝０（偽）
であれば、
～Ｐ＝０（真）
である。
然るに、
（12）
④ 　　Ｐ≡Ｐである。
⑤ 　～Ｐ≡Ｐでない。
⑥ ～～Ｐ≡Ｐではい。ではない。
に於いて、
⑤ は、④ に対して、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitutione）」を行った「結果」であり、
に於いて、
⑥ は、⑤ に対して、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitutione）」を行った「結果」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
④　　 Ｐ≡Ｐである。
⑤ 　～Ｐ≡Ｐでない。
⑥ ～～Ｐ≡Ｐではい。ではない。
に於いて、
④　 　Ｐ＝１（真）
であれば、
⑤　 ～Ｐ＝０（偽）
であって、
⑥ ～～Ｐ＝１（真）
であり、
④ 　　Ｐ＝０（偽）
であれば、
⑤ 　～Ｐ＝１（真）
であって、
⑥ ～～Ｐ＝０（偽）
である。
従って、
（13）により、
（14）
④　　 Ｐ≡Ｐである。
⑥ ～～Ｐ≡Ｐではい。ではない。
に於いて、
④＝⑥＝１（真）　であるか、
④＝⑥＝０（偽）　であるかの、いづれかである。
従って、
（14）により、
（15）
「真理値（１・０）」と「代入」といふ「観点」からすれば、必ず、
⑦ Ｐ≡～～Ｐ
である。
然るに、
（16）
⑦ Ｐ≡～～Ｐ
といふことは、「日本語」で書けば、
⑦「Ｐである。」≡「Ｐでない。はウソである。」
といふことになる。
従って、
（16）により、
（17）
⑦ Ｐ≡～～Ｐ
⑦「Ｐである。」≡「Ｐでない。はウソである。」
といふことは、「日常生活に於ける、公理（Axiom）」である。
と、言っても良い。
然るに、
（18）
１　（１）　Ｐ　　　　Ａ
　２（２）　　　～Ｐ　Ａ
１２（３）　Ｐ＆～Ｐ　１２＆Ｉ
１　（４）　　～～Ｐ　２３ＲＡＡ
　　（５）Ｐ→～～Ｐ　１４ＣＰ
然るに、
（19）
⑦ Ｐ→～～Ｐ
といふ「記号」は、
⑦ Ｐならば、Ｐでないは、ウソである。
といふ、「意味」である。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
⑦ Ｐ→～～Ｐ
⑦ Ｐならば、Ｐでないは、ウソである。
であれば、「定理（Theorem）」として、「証明」出来る。
然るに、
（21）
⑦ ～～Ｐ→Ｐ
⑦ Ｐでないがウソならば、Ｐである。
の場合は、少なくとも、私には、「定理（Theorem）」として「証明」出来ないし、「証明出来ない」といふことも、「証明」出来ない。
令和０２年０１月１７日、毛利太。