「パースの法則」の「対偶」は「普通」である。

（01）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
従って、
（01）により、
（02）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ 　
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。　
といふ「恒真式（トートロジー）」を「パースの法則」といふ。
然るに、
（03）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）
　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義（であって、排中律。）　
３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ
３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義
３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ
３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則
　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ
　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義
３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆
　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ
３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ
３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ
　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ
　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエカ∨Ｅ
　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義
　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
然るに、
（04）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「パースの法則」は、確かに、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｑ　Ａ
１２　（４）　　　　Ｑ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　３４＆Ｉ
１　３（６）～Ｐ　　　　２５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　３６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　～Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｐ　Ａ
１２　（４）　　　　～Ｐ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　３４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｑ　　　　２５ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　３７ＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
① 　Ｐ→　Ｑ≡ＰであるならばＱである。
② ～Ｑ→～Ｐ≡ＱでないならばＰでない。
に於いて、
①＝② であるものの、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（08）
数学では、元の命題「ＡならばＢ」の証明が難しくても、その対偶「ＢでないならＡでない」の証明は比較的易しい場合がある。「ＡならばＢ」と「ＢでないならＡでない」との真偽は一致するので、このようなときには対偶「ＢでないならＡでない」のほうを証明すれば「ＡならばＢ」を証明できる（対偶論法）。（ウィキペディア）
従って、
（05）～（08）により、
（09）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ 　
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「パースの法則」の「対偶」を「計算」すれば、「その対偶」は、「パースの法則」に「等しく」、『「その対偶」の対偶』は、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ 　
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「パースの法則」に「等しい」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ
　２　　　（２）　　　　　　　　　　　　～Ｐ　Ａ
１２　　　（３）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　１２ＭＴＴ
　　４　　（４）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ　
　　４　　（５）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　４含意の定義
１２４　　（６）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　３５＆Ｉ
１２　　　（７）　～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　　４６ＲＡＡ（背理法）
１２　　　（８）　　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　７ド・モルガンの法則
１２　　　（９）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　８＆Ｅ
１２　　　（ア）　　　  ～Ｑ→～Ｐ            ９の対偶
１２　　　（イ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　８＆Ｅ
１２　　　（ウ）　　　　　　～～Ｑ∨～Ｐ　　　イ∨Ｉ
１２　　　（エ）　　　　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　ウ含意の定義
１２　　　（オ）　　　（～Ｑ→～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　アエ＆Ｉ
１２　　　（カ）　　  （～Ｑ→～Ｐ）　　　　  オ＆Ｅ(一種の、冪等律）
１　　　　（キ）～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　２カＣＰ
（ⅱ）
１　　　　（１）　～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ　  Ａ
　２　　　（３）　　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　２含意の定義
　　４　　（４）　　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　Ａ
　　　５　（５）　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　　　Ａ
　　　５　（６）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　５の対偶
　　４５　（７）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４６＆Ｉ
　　４　　（８）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　 ５７ＲＡＡ
　　　　９（９）　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　　　９（ア）　　　　　　　　　～～Ｐ　　９ＤＮ
　　　５９（イ）　　　～～Ｑ　　　　　　　　５アＭＴＴ
　　　５９（ウ）　　　　　Ｑ　　　　　　　　イＤＮ
　　　５　（エ）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　９ウＣＰ
　　４５　（オ）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４エ＆Ｉ
　　４　　（カ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　 ５オＲＡＡ
　２　　　（キ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　３４８９カ∨Ｅ（９はＣＰで削除）
１２　　　（ク）～～Ｐ　　　　　　　　　　　１キＭＴＴ
１２　　　（ケ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　クＤＮ
１　　　　（コ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　 ２ケＣＰ
従って、
（06）（09）（10）により、
（11）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　
②  ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
①＝② は、「対偶」である。
然るに、
（12）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　
②  ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substuitution）」を行ふと、
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　
④  ～Ｐ→（～～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
③＝④ は、「対偶」である。
然るに、
（13）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
④ ～～Ｑ　は、
④     Ｑ　に「等しい」。
従って、
（12）（13）により、
（14）
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　
④  ～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
③＝④ は、「対偶」である。
然るに、
（15）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（03）（04）（05）（11）～（15）により、
（16）　　
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　
②  ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　
④  ～Ｐ→（　Ｑ→～Ｐ）
は、四つとも「恒真式（トートロジー）」であって、
①＝② は「対偶」であり、
③＝④ は「対偶」である。
従って、
（02）（16）により、
（17）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ 　
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「命題」は、その「対偶」で「読む」ならば、
②　～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
④  ～Ｐ→（  Ｑ→～Ｐ）
⑤ Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）
といふ「意味」になる。
従って、
（09）（17）により、
（18）
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「命題」は「恒真式（トートロジー）」である。といふ「パースの法則」は、
⑤ Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。といふ「法則」である。
（19）
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
が「偽」であるために、
② ～偽→（～Ｑ→～Ｐ）
でなければ、ならない。
然るに、
（20）
② ～偽→（～Ｑ→～Ｐ）
であるならば、
② ～偽→（～Ｑ→～偽）
である。
然るに、
（21）
② ～偽→（～Ｑ→～偽）
であるならば、
② 　真→（～Ｑ→  真）
である。
然るに、
（22）
② 　真→（～Ｑ→　真）
であれば、
② 　真→（～真→　真）
であるか、
② 　真→（～偽→　真）
である。
然るに、
（23）
② 　真→（～真→　真）
② 　真→（～偽→　真）
であるならば、
②   真→（　偽→　真）
②　 真→（　真→　真）
である。
然るに、
（24）
「真理表（Truth table）」により、
②   真→（　偽→　真）
②　 真→（　真→　真）
は、両方とも「真」である。
従って、
（19）～（24）により、
（25）
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
の場合は、
②   真→（　偽→　真）
②　 真→（　真→　真）
は、両方とも「真」であって、それ故、
② Ｑ＝真　であろうと、
② Ｑ＝偽　であろうと、「恒に、真」である。
従って、
（17）（18）（25）により、
（26）
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「命題」を、「対偶」で読む限り、「パースの法則」とは、
⑤ Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。といふ「法則」であって、尚且つ、
⑤ Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）
といふ「命題」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（27）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ 　
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「命題」の、「対偶」である所の、
②  ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
② Ｐでないならば（Ｑでなからううと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）
といふ「命題」は、「少しも、変ではなく、尚且つ、明らかに、真（本当）である。」
従って、
（01）（27）により、
（28）
「排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。」
といふは言ふものの、私自身は、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ 　
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「命題」、すなはち、
②  ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
② Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）
といふ「命題」は、少しも「変である」とは、思はない。
（29）
「排中律や二重否定の除去と等価な命題」といふ「言ひ方」に関しては、「それがどういふ意味」なのか、私には、分からない。
令和０２年０１月２５日、毛利太。