「任意の命題」は「任意の仮言命題」の「後件」であるが「対偶」は成り立たない。

（01）
Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。
といふを「形式」の「命題」を『仮言命題』といふ。
（02）
Ｐ→Ｑ≡ＰらばＱである。
に於ける、
Ｐを「前件（前提）」といひ、
Ｑを「後件（結論）」といふ。
従って、
（02）により、
（03）
Ｑ→Ｐ≡ＱならばＰである。
であれば、
Ｑが「前件（前提）」であって、
Ｐが「後件（結論）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｑ→Ｐ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｑ∨Ｐ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｑ∨Ｐ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｑ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｑ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｑ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｐ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｑ∨Ｐ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｑ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｑ∨Ｐ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｑ∨Ｐ　　　イＤＮ
（ⅱ）～Ｑ∨Ｐ├ Ｑ→Ｐ
１　　　　　（１）　～Ｑ∨　Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｑ＆　Ｑ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｐ＆～Ｐ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｐ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｐ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｑ→　Ｐ　　　ウクＣＱ
従って、
（04）により、
（05）
① 　Ｑ→Ｐ≡ＱならばＰである。
② ～Ｑ∨Ｐ≡Ｑでないか、または、Ｐである。
に於いて、
①＝② であり、この「等式」を、『含意の定義』といふ。
従って、
（06）
（ⅰ）
１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
　ルカジェヴィッツによる公理
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）　
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「式」は、「ルカジェヴィッツによる公理１」である。
といふことからも分かるやうに、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（08）
（09）
① 任意の命題Ｐ と、
① 任意の命題Ｑ とに於いて、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
といふ『仮言命題』は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）により、
（10）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）の、
① Ｐは、
①     （Ｑ→Ｐ）といふ『仮言命題』の、
①           Ｐ、すなはち、「後件」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①「任意の命題（Ｐ）」は「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「後件」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１　　（１）　Ｑ→　Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｐ　Ａ
　　３（３）　Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｐ＆Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｐ→～Ｑ　２６ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｑ　Ａ
　　３（３）　～Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｑ＆～Ｑ　２４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｐ　　　　２ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　２７ＣＰ
従って、
（12）により
（13）
② 　Ｑ→　Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、「対偶（Contraposition）」に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）　
（ⅱ）
１　　（１）　　　　Ｐ　Ａ
１　　（２）　～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ
１　　（３）　Ｑ→　Ｐ　２含意の定義
　４　（４）　　　～Ｐ　Ａ
　　５（５）　Ｑ　　　　Ａ
１　５（６）　　　　Ｐ　３５ＭＰＰ
１４５（７）　～Ｐ＆Ｐ　４５＆Ｉ
１４　（８）～Ｑ　　　　５７ＲＡＡ
１　　（９）～Ｐ→～Ｑ　４８ＣＰ
然るに、
（15）
その一方で、
（ⅱ）
１　　（１）　　　　Ｐ　Ａ
１　　（２）　～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ
１　　（３）　Ｑ→　Ｐ　２含意の定義
　４　（４）　　　～Ｐ　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆～Ｐ　１４＆Ｉ
１　　（６）　　～～Ｐ　４５ＲＡＡ
１　　（７）　　　　Ｐ　６ＤＮ
とするならば、
１４　（５）　Ｐ＆～Ｐ　１４＆Ｉ
に続いて、もう一度、
１４　（８）　Ｐ＆～Ｐ　４７＆Ｉ
となるため、「いつまでたっても、計算が、終はらない」。
従って、
（11）（13）（15）により、
（16）
（ⅰ）
１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
といふ「推論」が、「妥当」であるが故に、
「任意の命題（Ｐ）」は「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「後件」である。
ものの、その場合の、　「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」に関しては、「対偶」が成り立たない。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
（ⅱ）
１　　（１）　　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　Ａ
　２　（２）　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　Ａ
　　３（３）　　　　　　Ｑ→　Ｐ　　Ａ
　２　（４）　　　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ
　２３（５）　　　　　　　　　Ｐ　　２４ＭＰＰ
　２　（６）　　　　　　　　～Ｐ　　２＆Ｅ
　２３（７）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　５６
　２　（８）　　　　～（Ｑ→　Ｐ）　３７ＲＡＡ
１２　（９）　　～Ｐ　　　　　　　　１８ＭＴＴ
１　　（ア）　～（Ｑ→Ｐ）→～Ｐ　　８９ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　～（Ｑ→Ｐ）→～Ｐ　　Ａ
　２　（２）　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　２　（３）　　　　　　　～～Ｐ　　２ＤＮ
１２　（４）～～（Ｑ→Ｐ）　　　　　１３ＭＴＴ
１２　（５）　　（Ｑ→Ｐ）　　　　　４ＤＮ
１　　（６）　　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　２５ＣＰ
従って、
（08）（17）により、
（18）
②     Ｐ→（Ｑ→  Ｐ）
③ ～（Ｑ→Ｐ）→～Ｐ
に於いて、
②＝③ である。が故に、
①「ルカジェヴィッツによる公理１」に於いても、「対偶」は、「等しい」。
然るに、
（19）
（ⅳ）
１　　（１）　　　　　　　Ｐ　　Ａ
１　　（２）　　　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１　　（３）　　　　Ｑ→　Ｐ　　２含意の定義
　４　（４）　　　　　　～Ｐ　　Ａ
１４　（５）　　　～Ｑ　　　　　３４ＭＴＴ
１　　（６）　　　～Ｐ→～Ｑ　　４５ＣＰ
といふ「推論」は「妥当」であって、
１　　（３）　　　　Ｑ→　Ｐ　　２含意の定義
１　　（６）　　　～Ｐ→～Ｑ　　４５ＣＰ
に於いて、両者は、「対偶」である。
然るに、
（20）
１　　（３）　　　　Ｑ→　Ｐ　　２含意の定義
１　　（６）　　　～Ｐ→～Ｑ　　４５ＣＰ
に対応する「連式（Sequents）」は、それぞれ、
① Ｐ├ 　Ｑ→　Ｐ
④ Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
である。
然るに、
（21）
① Ｐ├ 　Ｑ→　Ｐ
④ Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、それぞれ、
① Ｐである。故に、Ｑであるならば、Ｐである。
④ Ｐである。故に、Ｐでないならば、Ｑでない。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）により、
（22）
もう一度、確認すると、
（ⅱ）
１　　（１）　Ｑ→　Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｐ　Ａ
　　３（３）　Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｐ＆Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｐ→～Ｑ　２６ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｑ　Ａ
　　３（３）　～Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｑ＆～Ｑ　２４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｐ　　　　２ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　２７ＣＰ
であるため、「普通」の「対偶」は、
②   Ｑ→　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
③ ～Ｐ→～Ｑ├　 Ｑ→　Ｐ　
といふ「連式（Sequents）」に対応する。
然るに、
（23）
②   Ｑ→　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
③ ～Ｐ→～Ｑ├　 Ｑ→　Ｐ
といふ「連式（Sequents）」は、それぞれ、
② ＱであるならばＰである。故に、ＰでないならばＱでない。
③ ＰでないならばＱでない。故に、ＱであるならばＰである。
といふ「意味」である。
従って、
（05）（21）（23）により、
（24）
① 　　　　Ｐ├ 　Ｑ→　Ｐ
②   Ｑ→　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
③ ～Ｐ→～Ｑ├　 Ｑ→　Ｐ
④ 　　　　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
であるとしても、すなはち、
① 　　　　Ｐ├ 　Ｑ→　Ｐ
② ～Ｑ∨　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
③ 　Ｐ∨～Ｑ├　 Ｑ→　Ｐ
④ 　　　　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
であるとしても、「左辺」を比べれば、
① ⇔ ③ ではないし、
② ⇔ ④ でもない。
然るに、
（08）（11）（16）（21）により、
（25）
Ｐ≡太陽は東から昇る。
Ｑ≡バカボンのパパは天才である。
として、
①「任意の命題（Ｐ）」は「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「後件」である。
といふ、「ルカジェヴィッツによる公理１」が「真」であって、尚且つ、
①「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「対偶」も「真」であるならば、
④ 太陽は東から昇る。故に、太陽が東から昇らないならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」も「真」である。
然るに、
（26）
④ 太陽は東から昇る。故に、太陽が東から昇らないならば、・・・・・。
といふ「命題」は、「意味」をなしてゐない。
従って、
（24）（25）（26）により、
（27）
①「任意の命題（Ｐ）」は「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「後件」である。
といふ、「ルカジェヴィッツによる公理１」が「真」であったしても、
①「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「対偶」が成り立つ。
とは、言へないはずである。
令和０２年０１月３１日、毛利太。