「鼻が長いのが象である」の「肯定」の「述語論理」。

（01）
「前回（１月１日）」の記事で「計算」を示した通り、
③ ～∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）→象ｙ  ＆  象ｙ→（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
④ 　∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　　∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）→象ｙ＆象ｙ→（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝    Ａ
１　　　　　（２）　　　　　∀ｙ｛（鼻ａｙ＆長ａ）→象ｙ＆象ｙ→（鼻ａｙ＆長ａ）　　　１ＵＥ
１　　　　　（３）　　　　　　　　（鼻ａｂ＆長ａ）→象ｂ＆象ｂ→（鼻ａｂ＆長ａ）　　  ２ＵＥ
１　　　　　（４）　　　　　　　　（鼻ａｂ＆長ａ）→象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　５　　　　（５）　　　　　　　　～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　５　　　　（６）　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
１５　　　　（７）　　　　　　　～（鼻ａｂ＆長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　４６ＭＴＴ
　５　　　　（８）　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆長ａ）　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
１５　　　　（９）　　　　　　　～（鼻ａｂ＆長ａ）＆（鼻ａｂ＆長ａ）　　　　　　　　　７８＆Ｉ
１　　　　　（ア）　　　　　　～｛～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）｝　　　　　　　　　　　　　５９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ｂ→（鼻ａｂ＆　長ａ）　　　３＆Ｅ
　　ウ　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ｂ＆（鼻ａｂ→～長ａ）　　　Ａ
　　ウ　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ｂ　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１　ウ　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆　長ａ　　　　イエＭＰＰ
　　ウ　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→～長ａ　　　　ウ＆Ｅ
１　ウ　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　オ＆Ｅ
１　ウ　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　カキＭＰＰ
１　ウ　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　　オ＆Ｅ
１　ウ　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ＆長ａ　　　　クケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～｛象ｂ＆（鼻ａｂ→～長ａ）｝　　ウＲＡＡ
１　　　　　（シ）　～｛象ｂ＆（鼻ａｂ→～長ａ）｝＆～｛～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）｝　　アサ＆Ｉ
１　　　　　（ス）　～｛象ｂ＆（鼻ａｂ→～長ａ）　∨　　～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）｝　　シ、ド・モルガンの法則
１　　　　　（セ）　　∀ｙ～｛象ｙ＆（鼻ａｙ→～長ａ）∨～象ｙ＆（鼻ａｙ＆長ａ）｝　　スＵＩ
１　　　　　（ソ）∀ｘ∀ｙ～｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　セＵＩ
１　　　　　（タ）∀ｘ～∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　ソ量化子の関係
１　　　　　（チ）～∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　タ量化子の関係
（ⅱ）
１　　　　　（１）～∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　Ａ
１　　　　　（２）∀ｘ～∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　１量化子の関係
１　　　　　（３）∀ｘ∀ｙ～｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　１量化子の関係
１　　　　　（４）　　∀ｙ～｛象ｙ＆（鼻ａｙ→～長ａ）∨～象ｙ＆（鼻ａｙ＆長ａ）｝　　３ＵＥ
１　　　　　（５）　　　　～｛象ｂ＆（鼻ａｂ→～長ａ）∨～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）｝　　４ＵＥ
１　　　　　（６）　～｛象ｂ＆（鼻ａｂ→～長ａ）｝＆～｛～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）｝　　５ド・モルガンの法則
１　　　　　（７）　～｛象ｂ＆（鼻ａｂ→～長ａ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　　　　（８）　～象ｂ∨～（鼻ａｂ→～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
１　　　　　（９）　　象ｂ→～（鼻ａｂ→～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８含意の定義
　ア　　　　（ア）　　象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１ア　　　　（イ）　　　　　～（鼻ａｂ→～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９アＭＰＰ
　　ウ　　　（ウ）　　　　　　～鼻ａｂ∨～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　ウ　　　（エ）　　　　　　　鼻ａｂ→～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ含意の定義
１アウ　　　（オ）　　　　　～（鼻ａｂ→～長ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ→～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イエ＆Ｉ
１ア　　　　（カ）　　　　～（～鼻ａｂ∨～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウオＲＡＡ
１ア　　　　（キ）　　　　　　　鼻ａｂ＆　長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カ、ド・モルガンの法則
１　　　　　（ク）　　　　象ｂ→（鼻ａｂ＆長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　アキＣＰ
１　　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～｛～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）｝　　６＆Ｅ　　　　　
　　　コ　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　サ　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆長ａ）　　　Ａ
　　　コサ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）　　　コサ＆Ｉ
１　　コサ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　～｛～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛～象ｂ＆（鼻ａｂ＆長ａ）｝　　ケシ＆Ｉ
１　　コ　　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ａｂ＆長ａ）　　　サスＲＡＡ
１　　　　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～（鼻ａｂ＆長ａ）　　　コセＣＰ
１　　　　タ（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆長ａ）　　　Ａ
　　　　　タ（チ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（鼻ａｂ＆長ａ）　　　タＤＮ
１　　　　タ（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ　　　　　　　　　　　　　ソチＭＴＴ
１　　　　タ（テ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ｂ　　　　　　　　　　　　　ツＤＮ
１　　　　　（ト）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆長ａ）→象ｂ　　　　　タテＣＰ
１　　　　　（ナ）　　　　　　　　（鼻ａｂ＆長ａ）→象ｂ＆象ｂ→（鼻ａｂ＆長ａ）　　　クト＆Ｉ
１　　　　　（ニ）　　　　　∀ｙ｛（鼻ａｙ＆長ａ）→象ｙ＆象ｙ→（鼻ａｙ＆長ａ）　　　ナＵＩ
１　　　　　（ヌ）　　　∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）→象ｙ＆象ｙ→（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　  ニＵＩ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①  　 ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）→象ｙ  ＆  象ｙ→（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
② 　～∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
③ 　～∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）→象ｙ  ＆  象ｙ→（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
④ ～～∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、
①＝② であるため、必然的に、
③＝④ である。
然るに、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
④ ～～∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
⑤     ∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（05）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝といふ「式」は、すなはち、
⑤「あるｘとｙについて、ｙは象であって、ｘがｙの鼻であるならば、ｘは長くないか、ｙは象でなくて、ｘはｙの鼻であって、ｘは長いか、または、その、両方である。」といふ「それ」は、
⑤「鼻が長くない象がゐるかも知れないし、象以外にも鼻が長い動物がゐるかも知れない。」といふ「意味」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①   ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）→象ｙ  ＆  象ｙ→（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
② ～∃ｘ∃ｙ｛象ｙ＆（鼻ｘｙ→～長ｘ）∨～象ｙ＆（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
⑤ 鼻が長くない象がゐるかも知れないし、象以外にも鼻が長い動物がゐるかも知れない。
に於いて、、
①＝② であって、
② は、
⑤ の「否定」である。
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）→象ｙ＆象ｙ→（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
② 鼻が長くない象はゐないし、象以外に、鼻が長い動物はゐない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）→象ｙ＆ 象ｙ→（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝といふ「式」は、
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）⇔象ｙ｝ といふ「式」と、「同じ」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）⇔象ｙ｝といふ「式」は、
①「鼻が長くない象はゐないし、象以外に、鼻が長い動物はゐない。」といふ「意味」である。
然るに、
（10）
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）⇔象ｙ｝といふ「式」は、
①「すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｘが長いならば、そのときに限って、ｙは象である。」 といふ「意味」である。
然るに、
（11）
｛象、兎、馬｝に於いて、
鼻が長いのが象である。⇔ 鼻が長いならば、そのときに限って、象である。
耳が長いのが兎である。⇔ 耳が長いならば、そのときに限って、兎である。
顔が長いのが馬である。⇔ 顔が長いならば、そのときに限って、馬である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 鼻が長いのが象である。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆長ｘ）⇔象ｙ｝⇔
① 鼻が長いならば、そのときに限って、象である。⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｘが長いならば、そのときに限って、ｙは象である。
といふ「等式」が、成立する。
令和２年正月２日、毛利太。