（01）
［公理］
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
（～Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
然るに、
（03）
（ⅰ）に於いて。
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～～Ｑ＆ ～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） ～～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆～～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆ ～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～～Ｑ Ａ
オ （オ） ～Ｐ Ａ
エオ （カ） ～～Ｑ＆ ～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ）＆
（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～～Ｑ→ Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～～Ｑ→ Ｐ） １コＣＰ
シ （シ）Ｐ Ａ
シ （ス） ～～Ｑ→ Ｐ サシＭＰＰ
セ（ソ） Ｑ Ａ
セ（セ） ～～Ｑ ソＤＮ
シセ（ソ） Ｐ スセＭＰＰ
シ （タ） Ｑ→ Ｐ セソＣＰ
（チ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） シタＣＰ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）
に於いて、
② は、
① に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行った、「結果」であり、
① は、
② に於いて、
～Ｑ＝Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行った、「結果」であり、
尚且つ、
② は、「ルカジェヴィッツの公理１」である。
然るに、
（05）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
① も「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
（１）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「ルカジェヴィッツの公理１」は、要するに、
（１）Ｐであるならば（Ｑであろうと、Ｑでなかろうと、いづれにせよ、Ｐである）。
といふ「意味」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
（～Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
は、次（09）のやうに、「続ける」ことが出来る。
（09）
１ オ（ク） ～～Ｑ エキＲＡＡ
１ オ（ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→Ｑ オケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １コＣＰ
然るに、
（10）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（06）（08）（09）（10）により、
（11）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
だけでなく、
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
であっても、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
が「偽」であるならば、
③ 真→（～Ｐ→Ｑ）
である。
（13）
③ 真→（～Ｐ→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（～真→Ｑ）
である。
（14）
③ 真→（～真→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（ 偽→Ｑ）
である。
然るに、
（15）
③ 真→（ 偽→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（ 偽→真）
であっても、
③ 真→（ 偽→偽）
であっても、いづれにせよ、「真」である。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）
といふ「式」は、「偽」にはなれないし、同様に、
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）
といふ「式」も、「偽」にはなれない。
ｃｆ.
③ 真→（ 偽→ Ｑ）
④ 真→（ 偽→～Ｑ）
は、両方とも、「Ｑの真・偽」に拘らず、「恒に、真」である。
従って、
（11）（16）により、
（17）
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（18）
（ａ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ８カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（18）により、
（19）
（ａ） Ｐ→Ｑ
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
（ⅲ）
１ （１）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
１２ （３） ～Ｐ→Ｑ １２ＭＰＰ
１２ （４） ～～Ｐ∨Ｑ ３含意の定義
５ （５） ～～Ｐ Ａ
５ （６） Ｐ ５ＤＮ
５ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） Ｐ∨Ｑ ４５７８９∨Ｉ
１ （イ） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２アＣＰ
１ （ウ）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） イ含意の定義
１ （エ）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ 結合法則
（ⅳ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ Ａ
１ （２）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １結合法則
１ （３） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２含意の定義
４ （４） Ｐ Ａ
１４ （５） Ｐ∨Ｑ ３４ＭＰＰ
６ （６） Ｐ Ａ
６ （７） ～～Ｐ ６ＤＮ
６ （８） ～～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
９（９） Ｑ Ａ
９（ア） ～～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１４ （イ） ～～Ｐ∨Ｑ ４６８９ア∨Ｅ
１４ （ウ） ～Ｐ→Ｑ イ含意の定義
１ （エ）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） ４ウＣＰ
従って、
（20）により、
（21）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（22）
（ⅳ）
１（１）～Ｐ∨Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｐ １含意の定義
（ⅴ）
１（１） Ｐ→Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
従って、
（21）（22）により、
（23）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
⑤ （Ｐ→Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（23）により、
（24）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（排中律）∨Ｑ
⑤（同一律）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（24）により、
（25）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（恒真式）∨Ｑ
⑤（恒真式）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
然るに、
（26）
④（恒真式）∨Ｑ
⑤（恒真式）∨Ｑ
に於いて、
④ は、「恒真式」であって、
⑤ は、「恒真式」である。
従って、
（26）により、
（27）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ 恒真式
⑤ 恒真式
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（11）（17）（27）により、
（28）
① Ｐ→（～Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
といふ「４通り」は、全て、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（29）
（ｃ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（29）により、
（30）
（ｃ）～（Ｐ∨ Ｑ）
（ｄ） ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
（ｃ）＝（ｄ）であって、この「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（31）
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
４ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ２３９アイ∨Ｅ
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３含意の定義
３ （５）～（Ｐ＆～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
２３ （６） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ３６ＲＡＡ
２ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １２８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
従って、
（31）により、
（32）
⑤（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（33）
⑥（真＆～Ｑ）∨真
であれば、
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
は、「真」であるが、
⑥（偽＆～Ｑ）∨偽
であれば、
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
は、「偽」である。
従って、
（32）（33）により、
（34）
⑤（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
といふ「式」は、「偽」であることもあるため、「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（28）（33）により、
（35）
① Ｐ→（～Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
⑤ （Ｐ→Ｑ）→Ｐ ≡（ＰであるならばＱである）ならばＰである。
に於いて、
⑤ だけが、「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（01）（35）により、
（36）
② Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
⑤（ＰであるならばＱである）ならばＰである。
に於いて、
② は、「ルカジェヴィッツの公理１」であって、「恒真式（トートロジー）」であるが、
⑤ は、「ルカジェヴィッツの公理１」ではなく、「恒真式（トートロジー）」ではない。
といふことに、なる。
従って、
（36）により、
② Ｐであるならば、ＱであるならばＰである。
⑤ ＰであるならばＱである、ならばＰである。
に於いて、
②＝⑤ ではない。
といふ、ことになる。
令和０２年０１月２３日、毛利太。
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