「素朴・対偶論」と「二重否定の除去」と「パースの法則」。

（01）
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
② Ｐであって、Ｑでない。
③ Ｑでなくて、Ｐである。
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
「交換法則（commutative law）」といふ。
従って、
（02）により、
（03）
② Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
③ Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（04）
③ Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。
③ Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）
① Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝④ であるものの、「以上の論証」を、「素朴・対偶論」とする。
然るに、
（07）
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① Ｑである。
② Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
といふ、ことである。
然るに、
（08）
① Ｑである。
② Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「論理学の用語」では、「二重否定の除去」といふ。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
「二重否定の除去」を「否定」するのであれば、「素朴・対偶論」を「否定」することになる。
然るに、
（10）
「直観主義論理学者」ではない、「（私のやうな）普通の人」は、「素朴・対偶論」を「否定」しない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「（私のやうな）普通の人」は、「二重否定の除去」を「否定」しない。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１ド・モルガンの法則
１　　（３）　　Ｑ∨～Ｐ　　　２交換法則
１　　（４）～（～Ｑ＆Ｐ）　　３ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１　　（１）～（～Ｑ＆Ｐ）　　Ａ
　２　（２）　　～Ｑ　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　２３（４）　　～Ｑ＆Ｐ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（～Ｑ＆Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｑ＆Ｐ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　　～Ｐ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　～Ｑ→～Ｐ　　　２６ＣＰ
然るに、
（12）により、
（13）
（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）に於いて、
　 Ｐ＝～Ｑ
 　Ｑ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（14）
（ⅳ）
１　　（１）　　～Ｑ→　～Ｐ　　　Ａ
　２　（２）　　～Ｑ＆～～Ｐ　　　Ａ
　２　（３）　　～Ｑ　　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　　～Ｐ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　　～～Ｐ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　～Ｐ＆～～Ｐ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（～Ｑ＆～～Ｐ）　　２６ＲＡＡ
（ⅴ）
１　　（１）～（～Ｑ＆～～Ｐ）　　Ａ
１　　（２）　～～Ｑ∨　～Ｐ　　　１ド・モルガンの法則
１　　（３）　　～Ｐ∨～～Ｑ　　　２交換法則
１　　（４）～（～～Ｐ＆～Ｑ）　　３ド・モルガンの法則
（ⅵ）
１　　（１）～（～～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　～～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　～～Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（～～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（～～Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　～～Ｐ→～～Ｑ　　　２６ＣＰ
然るに、
（14）により、
（15）
（ⅳ）（ⅴ）（ⅵ）に於いて、
「二重否定の除去」を行ふと、
（ⅳ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　　Ａ
　２　（２）　　～Ｑ＆Ｐ　　Ａ
　２　（３）　　～Ｑ　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　～Ｐ　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　　Ｐ　　２＆Ｅ
１２　（６）　　～Ｐ＆Ｐ　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（～Ｑ＆Ｐ）　２６ＲＡＡ
（ⅴ）
１　　（１）～（～Ｑ＆Ｐ）　　Ａ
１　　（２）　　Ｑ∨～Ｐ　　　１ド・モルガンの法則
１　　（３）　～Ｐ∨　Ｑ　　　２交換法則
１　　（４）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３ド・モルガンの法則
（ⅵ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　　　Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　　Ｐ→　Ｑ　　　２６ＣＰ
従って、
（12）～（15）により、
（16）
①     　Ｐ→  Ｑ　≡Ｐであるならば、Ｑである。
② 　～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。
③ ～（～Ｑ＆　Ｐ）≡Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。
④  　 ～Ｑ→～Ｐ　≡Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①⇒②⇒③⇒④ であって、尚且つ、
④⇒③⇒②⇒① である。
従って、
（05）（06）（17）により、
（17）
「二重否定の除去」により、
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。
③ Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
といふ「素朴・対偶論」は、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（18）
証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。排中律や二重否定除去はいくつかの論理式に対しては個別に証明できることがあるけれども、古典論理のように普遍的に成立することはない（ウィキペディア）。
従って、
（17）（18）により、
（19）
あるいは、「直観主義論理」に於いては、「素朴・対偶論」は、「否定」されるのかも、知れない。
然るに、
（20）
多くの古典論理の恒真式は直観主義的には証明できない。排中律 Ｐ∨～ だけでなくパースの法則 （（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ や二重否定除去 ～～Ｐ→Ｐ などがその例である（ウィキペディア）。
然るに、
（21）
「昨日（令和０２年０１月２６日）の記事」にも書いた通り、
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）
　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義　
３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ
３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義
３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ
３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則
　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ
　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義
３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆
　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ
３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ
３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ
　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ
　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエカ∨Ｅ
　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義
　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
然るに、
（22）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（21）（22）により、
（23）
①（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「パースの法則の式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（24）
（ⅱ）
１　　　　（１）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ
　２　　　（２）　　　　　　　　　　　　～Ｐ　Ａ
１２　　　（３）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　１２ＭＴＴ
　　４　　（４）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ　
　　４　　（５）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　４含意の定義
１２４　　（６）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　３５＆Ｉ
１２　　　（７）　～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　　４６ＲＡＡ（背理法）
１２　　　（８）　　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　７ド・モルガンの法則
１２　　　（９）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　８＆Ｅ
１２　　　（ア）　　　  ～Ｑ→～Ｐ            ９の対偶
１２　　　（イ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　８＆Ｅ
１２　　　（ウ）　　　　　　～～Ｑ∨～Ｐ　　　イ∨Ｉ
１２　　　（エ）　　　　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　ウ含意の定義
１２　　　（オ）　　　（～Ｑ→～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　アエ＆Ｉ
１２　　　（カ）　　　（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　オ＆Ｅ
１　　　　（キ）～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　２カＣＰ
１　　　　（〃）　Ｐでないならば（～Ｑ→～Ｐ）。
（ⅲ）
１　　　　（１）　～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　Ａ
　２　　　（３）　　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　２含意の定義
　　４　　（４）　　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　Ａ
　　　５　（５）　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　　　Ａ
　　　５　（６）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　５の対偶
　　４５　（７）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４６＆Ｉ
　　４　　（８）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　５７ＲＡＡ
　　　　９（９）　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　　　９（ア）　　　　　　　　　～～Ｐ　　９ＤＮ
　　　５９（イ）　　　～～Ｑ　　　　　　　　５アＭＴＴ
　　　５９（ウ）　　　　　Ｑ　　　　　　　　イＤＮ
　　　５　（エ）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　９ウＣＰ
　　４５　（オ）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４エ＆Ｉ
　　４　　（カ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　５オＲＡＡ
　２　　　（キ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　３４８９カ∨Ｅ
１２　　　（ク）～～Ｐ　　　　　　　　　　　１キＭＴＴ
１２　　　（ケ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　クＤＮ
１　　　　（コ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　２ケＣＰ
従って、
（24）により、
（25）
「昨日（令和０２年０１月２６日）の記事」にも書いた通り、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
の「対偶（Contraposition）」は、
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
② 　Ｐでないならば（Ｑでないならば、Ｐでない。）
である。
然るに、
（26）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②  ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④  ～Ｐ→（～～Ｑ→～Ｐ）
然るに、
（27）
「二重否定の除去」により、
④  ～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ）
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（28）
「恒真式（トートロジー）」といふ、「言葉の意味」からしても、
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）。
といふことは、「当然」である。
従って、
（26）（27）（28）により、
（29）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②  ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④  ～Ｐ→（　Ｑ→～Ｐ）
に於いて、
①＝② は、「対偶」であって、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ は、「対偶」であって、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（30）
② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ
④ ～Ｐ→（　Ｑ→～Ｐ）
といふ「式」、すなはち、
② Ｐでないならば（Ｑでないならば、Ｐでない）。
④ Ｐでないならば（Ｑであるならば、Ｐでない）。
といふ「命題」が、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
② Ｐでないならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐでない）。
といふ「命題」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（31）
わさわざ、示す「必要」はないものの、
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）
　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義　
３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ
３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義
３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ
３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則
　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ
　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義
３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆
　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ
３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ
３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ
　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ
　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエカ∨Ｅ
　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義
　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
に対して、敢へて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）
　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　１含意の定義　
３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
３　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ
３　　（５）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　４含意の定義
３　　（６）　　　（Ｐ→～Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ
３　　（７）～（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則
　８　（８）　　　（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ
　８　（９）　　～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義
３８　（ア）～（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）＆
　　　　　　　（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ
３　　（イ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ
３　　（ウ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ
　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　エ（オ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ
　　　（カ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエカ∨Ｅ
　　　（キ）　　（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義
　　　（〃）　　（（Ｐならば～Ｑ）ならばＰならば）Ｐである。 カ含意の定義
といふ、ことになる。
従って、
（22）（23）（31）により、
（32）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰであるならばＱである）ならばＰであるならば）Ｐである。
といふ「パースの法則の式」は、「恒真式（トートロジー）」であるが故に、「代入の規則」により、
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（ＰであるならばＱでない）ならばＰであるならば）Ｐである。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（33）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「式」、すなはち、
①（（ＰであるならばＱである）ならばＰであるならば）Ｐである。
②（（ＰであるならばＱでない）ならばＰであるならば）Ｐである。
といふ「命題」が、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
①（（ＰであるならばＱであらうと）なからうとＰであるならば）Ｐである。
といふ「命題」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことになる。
従って、
（29）～（33）により、
（34）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②  ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）
といふ「パースの法則の式」と、その「対偶」は、
①（（Ｐであるならば、Ｑであらうと）なからうとＰであるならば）Ｐである。
②　  Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、Ｐでない）。
といふ「命題」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（35）
①（（Ｐであるならば、Ｑであらうと）なからうとＰであるならば）Ｐである。
②　  Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、Ｐでない）。
といふ「命題」は、「少しも、変ではなく、尚且つ、明らかに、正しい」。
従って、
（19）（20）（35）により、
（36）
あるいは、
「直観主義論理」に於いては、「素朴・対偶論」は、「否定」されるのかも、知れないし、その上、
「直観主義論理」を用ひる限り、「少しも、変ではなく、尚且つ、明らかに、真である命題」が「恒真式（トートロジー）」である。
といふことも、「証明不能」である。
といふ、ことになる。
（37）
「直観主義論理」といふのは、もしかしたら、「不要」なのではと、思はれる。
令和０２年０２月２６日、毛利太。