返り点に対する「括弧」の用法。: 1月 2020

2020年1月31日金曜日

「任意の命題」は「任意の仮言命題」の「後件」であるが「対偶」は成り立たない。

（01）Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。といふを「形式」の「命題」を『仮言命題』といふ。（02）Ｐ→Ｑ≡ＰらばＱである。に於ける、Ｐを「前件（前提）」といひ、Ｑを「後件（結論）」といふ。従って、（02）により、（03）Ｑ→Ｐ≡ＱならばＰである。であれば、Ｑが「前件（前提）」であって、Ｐが「後件（結論）」である。然るに、（04）（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｑ→Ｐ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｑ∨Ｐ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｑ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｑ∨Ｐ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｑ∨Ｐ）＆　　　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｑ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｑ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｐ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｑ∨Ｐ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｑ∨Ｐ）＆　　　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｑ∨Ｐ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｑ∨Ｐ　　　イＤＮ（ⅱ）～Ｑ∨Ｐ├ Ｑ→Ｐ１　　　　　（１）　～Ｑ∨　Ｐ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｑ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｑ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｑ＆　Ｑ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｐ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｐ　　　Ａ　２　７　　（９）　　Ｐ＆～Ｐ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｑ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｐ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｐ　　　７カＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｐ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｑ→　Ｐ　　　ウクＣＱ従って、（04）により、（05） ① 　Ｑ→Ｐ≡ＱならばＰである。 ② ～Ｑ∨Ｐ≡Ｑでないか、または、Ｐである。に於いて、 ①＝② であり、この「等式」を、『含意の定義』といふ。従って、（06）（ⅰ）１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰといふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（07）　ルカジェヴィッツによる公理（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）　これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（06）（07）により、（08） ① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）といふ「式」は、「ルカジェヴィッツによる公理１」である。といふことからも分かるやうに、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（08）（09） ① 任意の命題Ｐと、 ① 任意の命題Ｑとに於いて、 ① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。といふ『仮言命題』は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（03）により、（10） ① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）の、 ① Ｐは、 ① （Ｑ→Ｐ）といふ『仮言命題』の、 ① Ｐ、すなはち、「後件」である。従って、（09）（10）により、（11） ①「任意の命題（Ｐ）」は「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「後件」である。といふ、ことになる。然るに、（12）（ⅱ）１　　（１）　Ｑ→　Ｐ　Ａ　２　（２）　　　～Ｐ　Ａ　　３（３）　Ｑ　　　　Ａ１　３（４）　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ１２３（５）　～Ｐ＆Ｐ　２４＆Ｉ１２　（６）～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ１　　（７）～Ｐ→～Ｑ　２６ＣＰ（ⅲ）１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　Ａ　２　（２）　　　　　Ｑ　Ａ　　３（３）　～Ｐ　　　　Ａ１　３（４）　　　　～Ｑ　１３ＭＰＰ１２３（５）　　Ｑ＆～Ｑ　２４＆Ｉ１　３（６）～～Ｐ　　　　２ＲＡＡ１　３（７）　　Ｐ　　　　６ＤＮ１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　２７ＣＰ従って、（12）により（13） ② 　Ｑ→　Ｐ ③ ～Ｐ→～Ｑに於いて、すなはち、「対偶（Contraposition）」に於いて、 ②＝③ である。然るに、（14）　（ⅱ）１　　（１）　　　　Ｐ　Ａ１　　（２）　～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ１　　（３）　Ｑ→　Ｐ　２含意の定義　４　（４）　　　～Ｐ　Ａ　　５（５）　Ｑ　　　　Ａ１　５（６）　　　　Ｐ　３５ＭＰＰ１４５（７）　～Ｐ＆Ｐ　４５＆Ｉ１４　（８）～Ｑ　　　　５７ＲＡＡ１　　（９）～Ｐ→～Ｑ　４８ＣＰ然るに、（15）その一方で、（ⅱ）１　　（１）　　　　Ｐ　Ａ１　　（２）　～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ１　　（３）　Ｑ→　Ｐ　２含意の定義　４　（４）　　　～Ｐ　Ａ１４　（５）　Ｐ＆～Ｐ　１４＆Ｉ１　　（６）　　～～Ｐ　４５ＲＡＡ１　　（７）　　　　Ｐ　６ＤＮとするならば、１４　（５）　Ｐ＆～Ｐ　１４＆Ｉに続いて、もう一度、１４　（８）　Ｐ＆～Ｐ　４７＆Ｉとなるため、「いつまでたっても、計算が、終はらない」。従って、（11）（13）（15）により、（16）（ⅰ）１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰといふ「推論」が、「妥当」であるが故に、「任意の命題（Ｐ）」は「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「後件」である。ものの、その場合の、　「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」に関しては、「対偶」が成り立たない。といふ、ことになる。然るに、（17）（ⅱ）１　　（１）　　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　Ａ　２　（２）　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　Ａ　　３（３）　　　　　　Ｑ→　Ｐ　　Ａ　２　（４）　　　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ　２３（５）　　　　　　　　　Ｐ　　２４ＭＰＰ　２　（６）　　　　　　　　～Ｐ　　２＆Ｅ　２３（７）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　５６　２　（８）　　　　～（Ｑ→　Ｐ）　３７ＲＡＡ１２　（９）　　～Ｐ　　　　　　　　１８ＭＴＴ１　　（ア）　～（Ｑ→Ｐ）→～Ｐ　　８９ＣＰ（ⅲ）１　　（１）　～（Ｑ→Ｐ）→～Ｐ　　Ａ　２　（２）　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ　２　（３）　　　　　　　～～Ｐ　　２ＤＮ１２　（４）～～（Ｑ→Ｐ）　　　　　１３ＭＴＴ１２　（５）　　（Ｑ→Ｐ）　　　　　４ＤＮ１　　（６）　　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　２５ＣＰ従って、（08）（17）により、（18） ② Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ③ ～（Ｑ→Ｐ）→～Ｐに於いて、 ②＝③ である。が故に、 ①「ルカジェヴィッツによる公理１」に於いても、「対偶」は、「等しい」。然るに、（19）（ⅳ）１　　（１）　　　　　　　Ｐ　　Ａ１　　（２）　　　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ１　　（３）　　　　Ｑ→　Ｐ　　２含意の定義　４　（４）　　　　　　～Ｐ　　Ａ１４　（５）　　　～Ｑ　　　　　３４ＭＴＴ１　　（６）　　　～Ｐ→～Ｑ　　４５ＣＰといふ「推論」は「妥当」であって、１　　（３）　　　　Ｑ→　Ｐ　　２含意の定義１　　（６）　　　～Ｐ→～Ｑ　　４５ＣＰに於いて、両者は、「対偶」である。然るに、（20）１　　（３）　　　　Ｑ→　Ｐ　　２含意の定義１　　（６）　　　～Ｐ→～Ｑ　　４５ＣＰに対応する「連式（Sequents）」は、それぞれ、 ① Ｐ├ 　Ｑ→　Ｐ ④ Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑである。然るに、（21） ① Ｐ├ 　Ｑ→　Ｐ ④ Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑといふ「連式（Sequents）」は、それぞれ、 ① Ｐである。故に、Ｑであるならば、Ｐである。 ④ Ｐである。故に、Ｐでないならば、Ｑでない。といふ「意味」である。然るに、（12）により、（22）もう一度、確認すると、（ⅱ）１　　（１）　Ｑ→　Ｐ　Ａ　２　（２）　　　～Ｐ　Ａ　　３（３）　Ｑ　　　　Ａ１　３（４）　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ１２３（５）　～Ｐ＆Ｐ　２４＆Ｉ１２　（６）～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ１　　（７）～Ｐ→～Ｑ　２６ＣＰ（ⅲ）１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　Ａ　２　（２）　　　　　Ｑ　Ａ　　３（３）　～Ｐ　　　　Ａ１　３（４）　　　　～Ｑ　１３ＭＰＰ１２３（５）　　Ｑ＆～Ｑ　２４＆Ｉ１　３（６）～～Ｐ　　　　２ＲＡＡ１　３（７）　　Ｐ　　　　６ＤＮ１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　２７ＣＰであるため、「普通」の「対偶」は、 ② Ｑ→　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ ③ ～Ｐ→～Ｑ├　Ｑ→　Ｐ　といふ「連式（Sequents）」に対応する。然るに、（23） ② Ｑ→　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ ③ ～Ｐ→～Ｑ├　Ｑ→　Ｐといふ「連式（Sequents）」は、それぞれ、 ② ＱであるならばＰである。故に、ＰでないならばＱでない。 ③ ＰでないならばＱでない。故に、ＱであるならばＰである。といふ「意味」である。従って、（05）（21）（23）により、（24） ① 　　　　Ｐ├ 　Ｑ→　Ｐ ② Ｑ→　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ ③ ～Ｐ→～Ｑ├　Ｑ→　Ｐ ④ 　　　　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑであるとしても、すなはち、 ① 　　　　Ｐ├ 　Ｑ→　Ｐ ② ～Ｑ∨　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ ③ 　Ｐ∨～Ｑ├　Ｑ→　Ｐ ④ 　　　　Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑであるとしても、「左辺」を比べれば、 ① ⇔ ③ ではないし、 ② ⇔ ④ でもない。然るに、（08）（11）（16）（21）により、（25）Ｐ≡太陽は東から昇る。Ｑ≡バカボンのパパは天才である。として、 ①「任意の命題（Ｐ）」は「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「後件」である。といふ、「ルカジェヴィッツによる公理１」が「真」であって、尚且つ、 ①「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「対偶」も「真」であるならば、 ④ 太陽は東から昇る。故に、太陽が東から昇らないならば、バカボンのパパは天才である。といふ「命題」も「真」である。然るに、（26） ④ 太陽は東から昇る。故に、太陽が東から昇らないならば、・・・・・。といふ「命題」は、「意味」をなしてゐない。従って、（24）（25）（26）により、（27） ①「任意の命題（Ｐ）」は「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「後件」である。といふ、「ルカジェヴィッツによる公理１」が「真」であったしても、 ①「任意の仮言命題（Ｑ→Ｐ）」の「対偶」が成り立つ。とは、言へないはずである。令和０２年０１月３１日、毛利太。

「選言導入」と「仮言命題の後件」と「ルカジェヴィッツの公理１」と「連言除去」。

（01）Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。といふを「形式」の「命題」を『仮言命題』といふ。（02）Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。に於ける、Ｐを「前件（前提）」といひ、Ｑを「後件（結論）」といふ。然るに、（03）『選言導入』といふのは、この規則（選言導入）は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします。しかし、あとで解説しますが、この推論規則は、他の大事な規則を導く礎になります。（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）従って、（03）により、（04）１（１）彼女は背が高い。　　　　　　　　　　　　　　　仮定１（２）彼女は背が高いか、または　彼女は美人である。　選言導入といふ「推論規則」を、『選言導入』といふ。従って、（04）により、（05）「記号」で書くと、１（１）　Ｐ　　　Ａ１（２）　Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉといふ「推論規則」を、「∨Ｉ（選言導入）」といふものの、１（１）　　　Ｑ　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉであっても、もちろん、「∨Ｉ（選言導入）」である。然るに、（06）（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（06）により、（07） ① 　Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。 ② ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、または、Ｑである。に於いて、 ①＝② であり、この「等式」を、『含意の定義』といふ。従って、（05）（06）（07）により、（08）（ⅲ）１　（１）　　　　　Ｑ　　仮定１　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　１選言導入１　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　２含意の定義　　（４）Ｑ→（Ｐ→Ｑ）　１条件法といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（08）により、（09）（ⅳ）１　（１）　　　　　Ｐ　　仮定１　（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１選言導入１　（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義　　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１条件法といふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（10）　　ルカジェヴィッツによる公理（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）　これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（08）（09）（10）により、（11） ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｑであるならば（ＰであるならばＱである）。 ④ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｑであるならば（ＱであるならばＰである）。に於いて、 ④ は「ルカジェヴィッツによる公理１」そのものである。といふことからも、分かるやうに、これらの「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（12） ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。といふことは、 ③ Ｑ→（真→Ｑ） ③ Ｑ→（偽→Ｑ）といふ「式」が「真」である。といふ、ことである。然るに、（13） ③ Ｑ→（真→Ｑ） ③ Ｑ→（偽→Ｑ）といふ「式」が「真」である。といふ、ことは、 ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｑであるならば（Ｐであらうと、Ｐでなからうと、Ｑである）。といふことに、他ならない。従って、（11）（12）（13）により、（14） ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｑであるならば（Ｐであらうと、Ｐでなからうと、Ｑである）。 ④ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである）。に於いて、これらの「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（02）（14）により、（15） ③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｑであるならば（Ｐであらうと、Ｐでなからうと、Ｑである）。 ④ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである）。に於いて、これらの「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。といふことは、 ③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。といふことを、意味してゐる。従って、（10）（15）により、（16） ③「ルカジェヴィッツの公理１」は、 ③「任意の命題Ｐ」は、「任意の仮言命題のＱ→Ｐ」の、「後件」である。といふことを、意味してゐる。従って、（16）により、（17）（ⅲ）１（１）　　　Ｑ　仮定１（２）　Ｐ→Ｑ　仮言命題といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（05）（17）により、（18）（ⅲ）１（１）　　　Ｑ　仮定１（２）　Ｐ→Ｑ　仮言命題１（３）～Ｐ∨Ｑ　含意の定義といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（18）により、（19） ③ Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑといふ「連式（sequent）」、すなはち、 ③ Ｑである。故に、Ｐでないか、または、Ｑである。といふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（20） ③ Ｑである。故に、Ｐでないか、または、Ｑである。といふことは、 ③ Ｑではあるが、Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。といふ、ことである。従って、（15）～（20）により、（21） ③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。といふことは、要するに、 ③ Ｑであるとすれば、Ｑであるが、Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。といふ、ことである。然るに、（22） ③ Ｑであるとすれば、Ｑであるが、その際に、Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。といふことは、「当然」である。従って、（21）（22）により、（23） ③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。といふことは、むしろ、「当然」である。然るに、（24） ③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。といふことと、 ④「任意の命題Ｐ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「前件」である。といふことは、決して、「同じ」ではない。（25）（ⅳ）１　（１）　Ｐ　　　仮定　２（２）～Ｐ　　　仮定　２（３）～Ｐ∨Ｑ　２選言導入　２（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義１２（５）　　　Ｑ　１４前件肯定といふ「推論」が「妥当」であるならば、 ④「任意の命題Ｐ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「前件」である。といふ「命題」は、「真」である。然るに、（26）「推論（ⅳ）」は、 ④ Ｐ，～Ｐ├ Ｑといふ「連式（sequent）」、すなはち、 ④ Ｐであるが、Ｐでない。故に、Ｑである。といふ「推論」に、「等しい」。従って、（27） ④ Ｐであるが、Ｐでない。といふ「矛盾」は、絶対に、有り得ない。従って、（24）～（27）により、（28） ③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。といふ「命題」は、「真」であるが、 ④「任意の命題Ｐ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「前件」である。といふ「命題」は、「矛盾」を含み、それ故、「真」ではなく、「偽」である。（29）（ⅴ）１　（１）　　　Ｑ　仮定１　（２）～Ｐ∨Ｑ　１選言導入１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義　４（４）　Ｐ　　　仮定１４（５）　　　Ｑ　３４前件肯定といふ「推論」は「妥当」である。然るに、（30）「推論（ⅴ）」は、 ⑤ Ｑ，Ｐ├ Ｑといふ「連式（sequent）」、すなはち、 ⑤ Ｑであって、Ｐである。故に、Ｑである。といふ「推論」に「等しい」。然るに、（31）（ⅵ）１（１）Ｑ＆Ｐ　仮定１（２）Ｑ　　　１連言除去といふ「推論」は「妥当」である。然るに、（32）「推論（ⅵ）」は、 ⑥ Ｑ＆Ｐ├ Ｑといふ「連式（sequent）」、すなはち、 ⑥ Ｑであって、尚且つ、Ｐである。故に、Ｑである。といふ「推論」に「等しい」。然るに、（33） ⑤ Ｑであって、　　　　Ｐである。故に、Ｑである。 ⑥ Ｑであって、尚且つ、Ｐである。故に、Ｑである。に於いて、 ⑤ と ⑥ は、「同じ」である。従って、（29）～（33）により、（34）（ⅴ）１　（１）　　　Ｑ　仮定１　（２）～Ｐ∨Ｑ　１選言導入１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義　４（４）　Ｐ　　　仮定１４（５）　　　Ｑ　３４前件肯定といふ「推論」は、 ⑥ Ｑ＆Ｐ├ Ｑ ⑥ Ｑであって、尚且つ、Ｐである。故に、Ｑである。といふ「推論（連言除去）」の「妥当性」を「（半分だけ）証明」してゐる。といふ風に、言へないこともない。令和０２年０１月３１日、毛利太。

2020年1月30日木曜日

「命題論理」の「仮定」と「矛盾」について。

（01）（ⅰ）１　　　（１）　　　　　Ｐ　　　　Ａ　　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ　　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義　４　　（４）　　　　～Ｐ　　　　Ａ　４　　（５）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　４∨Ｉ　４　　（６）　　　　　Ｐ→Ｑ　　５含意の定義　４　　（７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　６∨Ｉ　　８　（８）　　　　　　　Ｐ　　Ａ　　８　（９）　　　　　～～Ｐ　　８ＤＮ　　８　（ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　９∨Ｉ　　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ　　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義　　　エ（エ）　～Ｐ＆　Ｐ　　　　Ａ　　　エ（オ）　～Ｐ　　　　　　　エ＆Ｅ　　　エ（カ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　ウオＭＰＰ　　　エ（キ）　　　　　Ｐ　　　　エ＆Ｅ　　　エ（ク）　　　　　　　Ｑ　　カキＭＰＰ　　　　（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ　　エクＣＰといふ「計算」に於いて、「左側」に書かれた「数字と片仮名」は、「仮定」が行はれた際の、「その行」を表してゐる。従って、（01）により、（02）（ⅰ）に於ける、「仮定」そのものを、「左側」に書くならば、（ⅰ）は、Ｐ　　　（１）　　　　　Ｐ　　　　Ａ　　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ　　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義～Ｐ　　（４）　　　　～Ｐ　　　　Ａ～Ｐ　　（５）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　４∨Ｉ～Ｐ　　（６）　　　　　Ｐ→Ｑ　　５含意の定義～Ｐ　　（７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　６∨Ｉ　　Ｐ　（８）　　　　　　　Ｐ　　Ａ　　Ｐ　（９）　　　　　～～Ｐ　　８ＤＮ　　Ｐ　（ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　９∨Ｉ　　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ　　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義～Ｐ＆Ｐ（エ）　～Ｐ＆　Ｐ　　　　Ａ～Ｐ＆Ｐ（オ）　～Ｐ　　　　　　　エ＆Ｅ～Ｐ＆Ｐ（カ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　ウオＭＰＰ～Ｐ＆Ｐ（キ）　　　　　Ｐ　　　　エ＆Ｅ～Ｐ＆Ｐ（ク）　　　　　　　Ｑ　　カキＭＰＰ　　　　（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ　　エクＣＰといふ風に、書くことになる。従って、（02）により、（03）　　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ　　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義　　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ　　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義　　　　（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ　　エクＣＰとふいふ「５行」に関しては、「仮定」の数が「０個」である。然るに、（04）「仮定」の数が「０個」である。といふことは、「特定の仮定」に「依存」しなくとも「真」である。といふことである。然るに、（05）「特定の仮定」に「依存」しなくとも「真」である。といふことは、「恒に真である」といふことである。従って、（03）（04）（05）により、（06）　　　　（２）　Ｐ→Ｐ（同一律）　　　　（３）～Ｐ∨Ｐ（排中律）　　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　　　　（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑといふこれらの「５つ式」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（07）（ⅱ）１　　（１）　Ｑ→　Ｐ　Ａ　２　（２）　　　～Ｐ　Ａ　　３（３）　Ｑ　　　　Ａ１　３（４）　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ１２３（５）　～Ｐ＆Ｐ　２４＆Ｉ１２　（６）～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ１　　（７）～Ｐ→～Ｑ　２６ＣＰ（ⅲ）１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　Ａ　２　（２）　　　　　Ｑ　Ａ　　３（３）　～Ｐ　　　　Ａ１　３（４）　　　　～Ｑ　１３ＭＰＰ１２３（５）　　Ｑ＆～Ｑ　２４＆Ｉ１　３（６）～～Ｐ　　　　２ＲＡＡ１　３（７）　　Ｐ　　　　６ＤＮ１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　２７ＣＰ従って、（07）により（08） ② 　Ｑ→　Ｐ ③ ～Ｐ→～Ｑに於いて、すなはち、「対偶（Contraposition）」に於いて、 ②＝③ である。従って、（08）により、（09）　Ｐ≡太陽は西から、昇る。～Ｐ≡太陽は西からは昇らない。　Ｑ≡バカボンのパパは天才である。～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。であるとして、 ① 　Ｑ→　Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。 ② ～Ｐ→～Ｑ≡太陽が西から昇らないならば、バカボンのパパは天才ではない。といふ「仮言命題」に於いて、 ②＝③ である。然るに、（10）「常識」として、～Ｐ≡太陽は西から昇らない（東から昇る）。然るに、（11）（ⅱ）１　（１）　Ｑ→Ｐ　Ａ　２（２）　　～Ｐ　Ａ１２（３）～Ｑ　　　１２ＭＴＴ従って、（08）～（11）により、（12） ② Ｑ→Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。といふ「言ひ方」は、 ②　～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。といふ「言ひ方」に「等しい」。然るに、（13）（ⅱ）１　（１）　Ｑ→Ｐ　Ａ　２（２）　　～Ｐ　Ａ１２（３）～Ｑ　　　１２ＭＴＴに対して、（ⅲ）１　（１）　　　Ｐ　Ａ１　（２）～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ１　（３）　Ｑ→Ｐ　２含意の定義　４（４）　　～Ｐ　Ａ１４（５）～Ｑ　　　３４ＭＴＴである。然るに、（02）（13）により、（14）（ⅱ）１　（１）　Ｑ→Ｐ　Ａ　２（２）　　～Ｐ　Ａ１２（３）～Ｑ　　　１２ＭＴＴ（ⅲ）１　（１）　　　Ｐ　Ａ１　（２）～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ１　（３）　Ｑ→Ｐ　２含意の定義　４（４）　　～Ｐ　Ａ１４（５）～Ｑ　　　３４ＭＴＴは、「仮定」そのものを、「左側」に書くならば、（ⅱ）Ｑ→Ｐ　　　（１）　Ｑ→Ｐ　Ａ　　　　～Ｐ（２）　　～Ｐ　ＡＱ→Ｐ，～Ｐ（３）～Ｑ　　　１２ＭＴＴ（ⅲ）　　Ｐ　　　（１）　　　Ｐ　Ａ　　Ｐ　　　（２）～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ　　Ｐ　　　（３）　Ｑ→Ｐ　２含意の定義　　　　～Ｐ（４）　　～Ｐ　Ａ　　Ｐ，～Ｐ（５）～Ｑ　　　３４ＭＴＴ従って、（14）により、（15）（ⅱ）Ｑ→Ｐ，～Ｐ（３）～Ｑ　１２ＭＴＴ（ⅲ）　　Ｐ，～Ｐ（５）～Ｑ　３４ＭＴＴは、それぞれ、「結論」としては、 ② ～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。 ③ ～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。で「同じ」であっても、 ② バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。 ③ 太陽は西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。となるため、「論証」としては、「同じ」ではない。然るに、（16） ③ 太陽は西から昇り、尚且つ、太陽は西からは昇らない。といふことは、「矛盾（Contradiction）」に他ならない。然るに、（17）　矛盾からは何でも証明できる ⊥（矛盾）がかかわる推論規則がもう一つあります。それは、という内容を持った推論規則で、その名も「矛盾」です。（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１６４頁）従って、（16）（17）により、（18）（ⅱ）Ｐ，～Ｐ├ Ｑ（ⅱ）太陽は西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。といふ「連式（推論）」は、「健全（sound）」ではないが、「妥当（valid）」である。然るに、（06)(09)により、
（19） ③（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）ならば、バカボンのパパは天才である。は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（20） ③（～Ｐ＆Ｐ） ③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）といふ「矛盾」は、「恒に偽である」所の、「恒偽式（contradiction）」である。然るに、（21）２推論の規則論理式Ａと、論理式Ａ→Ｂが共に真ならば、論理式Ｂも真である。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７４頁）然るに、（19）（20）により、（22） ③（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）ならば、バカボンのパパは天才である。は「恒に真」であっても、 ③（～Ｐ＆Ｐ） ③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）は「恒に偽」であるため、Ａ　　≡（～Ｐ＆Ｐ）Ａ→Ｂ≡（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑであるとして、論理式Ａ　　と、論理式Ａ→Ｂが共に真なる。といふことは、「絶対に無い」。従って、（18）～（22）により、（23）（ⅱ）～Ｐ，Ｐ├ Ｑ（ⅱ）太陽は西からは昇らない。然るに、太陽は西から昇る。故に、バカボンのパパは天才である。といふ「連式（推論）」は、「妥当（valid）」であるが、だからと言って、この「推論」からは、（ⅱ）バカボンのパパが天才である。といふことには、ならない。令和０２年０１月３０日、毛利太。

分かりにくいが、極めて、重要な「仮定の解消（ＣＰ）」について（Ⅱ）。

（01） ①「風邪を引いた」ので、「会社を休む」。と言へるのであれば、 ②「風邪を引いた」ならば「会社を休む」。といふことが、言へなければならない。従って、（01）により、（02） ①「Ｐである」ので、「Ｑである」。と言へるのであれば、 ②「Ｐである」ならば「Ｑである」。といふことが、言へなければならない。従って、（02）により、（03） ①「Ｐである」ので、「Ｐである」。と言へるのであれば、 ②「Ｐである」ならば「Ｐである」。といふことが、言へなければならない。然るに、（04）２９　Ｐ├ Ｐ　　　１（１）Ｐ　Ａこれ以上短い連式は証明できないし、またその証明は可能な最も短い証明である。 No shorter sequent than this can be proved, and its proof is the shortest possible proof. （E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、４４頁と、原文）然るに、（05）「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、　├ を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、１６頁）従って、（04）（05）により、（06） ① Ｐ├ Ｐといふ「連式（sequent）」は、 ①「Ｐである」ので「Ｐである」。といふ「意味」である。然るに、（07）（ⅰ）１（１）Ｐ　　　Ａ　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰといふ「計算（calculus）」は、 ① Ｐ├ Ｐ ② ├ Ｐ→Ｐといふ「連式（sequents）」に、相当する。然るに、（08） ② ├ Ｐ→Ｐといふ「連式」は、 ②「Ｐである」ならば「Ｐである」。といふ「意味」である。従って、（03）（07）（08）により、（09）（ⅰ）１（１）Ｐ　　　Ａ　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰといふ「計算」は、 ①「Ｐである」ので、「Ｐである」。と言へるのであれば、 ②「Ｐである」ならば「Ｐである」。といふことが、言へなければならない。といふことを、示してゐる。然るに、（10）（ⅱ）Ｐ→Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｐ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　イＤＮ（ⅲ）～Ｐ∨Ｐ├ Ｐ→Ｐ１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｐ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｐ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｐ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｐ　　　Ａ　２　７　　（９）　　Ｐ＆～Ｐ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｐ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｐ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｐ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｐ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｐ　　　７カＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｐ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｐ　　　ウクＣＰ従って、（10）により、（11） ②　Ｐ→Ｐ ③ ～Ｐ∨Ｐに於いて、 ②＝③ である。従って、（09）（10）（11）により、（12）（ⅰ）１（１）Ｐ　　　Ａ　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰといふ「計算」は、「途中」を「省略」して、１（１）　Ｐ　　　Ａ　（２）　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ　（３）～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義といふ風に、書くこと出来る。然るに、（13）１（１）　Ｐ　　　Ａ　（２）　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ　（３）～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義といふ「計算」は、 ① Ｐ├　Ｐ ② ├ 　Ｐ→Ｐ（同一律） ③ 　├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）といふ「連式」に相当する。然るに、（14） ③ 　├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）といふ「連式」は、 ③ Ｐでないか、または、Ｐである。といふ、「意味」である。然るに、（15）　（３）～Ｐ∨Ｐであるならば、　（３）～真∨真　であるか、　（〃）～偽∨偽　であるかの、いづれかである。然るに、（16）　（３）～真∨真　（〃）～偽∨偽であれば、　（３）　偽∨真　（〃）　真∨偽である。然るに、（17）　（３）　偽∨真　（〃）　真∨偽は、「真理表（Truth table）」により、両方とも、「真」である。従って、（14）～（17）により、（18） ②　Ｐ→Ｐ　すなはち、　　 ③ ～Ｐ∨Ｐ　は、　 ③ ～真∨真　であるか、あるいは、　 ③ ～偽∨偽　であるが、いづれにせよ、「真」である。然るに、（19） ②　Ｐ→Ｐ　すなはち、　　 ③ ～Ｐ∨Ｐ　は、　 ③ ～真∨真　であるか、あるいは、　 ③ ～偽∨偽　であるが、いづれにせよ、「真」である。といふことは、 ② ├ 　Ｐ→Ｐ（同一律） ③ 　├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）に於いて、Ｐの「真偽」は、「未定」である。といふことに、他ならない。従って、（06）（12）～（19）により、（20） ① Ｐ├　Ｐ ② ├ 　Ｐ→Ｐ（同一律） ③ 　├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）に於いて、 ① Ｐの「真」は、「確定」であって、 ② Ｐの「真」は、「未定」であって、 ③ Ｐの「真」は、「未定」である。然るに、（21）１（１）　Ｐ　　　Ａ　（２）　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ　（３）～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義といふ「計算」が、仮に、１（１）　Ｐ　　　Ａ１（２）　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ１（３）～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義と書かれるとするならば、その場合は、 ② Ｐの「真」は、「確定」であって、 ③ Ｐの「真」は、「確定」である。といふことを、示してゐる。（22）例へば、（ⅲ）～Ｐ∨Ｐ├ Ｐ→Ｐ１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｐ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｐ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｐ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｐ　　　Ａ　２　７　　（９）　　Ｐ＆～Ｐ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｐ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｐ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｐ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｐ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｐ　　　７カＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｐ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｐ　　　ウクＣＰといふ「計算」に於ける、１　　　　　（１）　２　　　　（２）　　３　　　（３）　２　　　　（４）　２３　　　（５）　　３　　　（６）　　　７　　（７）　２　　　　（８）　２　７　　（９）　　　７　　（ア）１　　　　　（イ）　　　　ウ　（ウ）　　　　　エ（エ）　　　　ウエ（オ）１　　　ウエ（カ）１　　　ウ　（キ）１　　　ウ　（ク）１　　　　　（ケ）といふ「部分」は、１　　　ウエ（カ）であれば、　（〃）の「行」では、１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｐ　　　Ａ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｐ　　　Ａといふ「３つの仮定」が「真」である。といふことが、その時点に於いて、「確定」である。といふことを、示してゐる。従って、（20）（21）（22）により、（23）（ⅰ） ① Ｐ├　Ｐ ② ├ 　Ｐ→Ｐ（同一律） ③ 　├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）に於いて、 ① Ｐの「真」は、「確定」であって、「未定」ではなく、逆に、 ② Ｐの「真」は、「未定」であって、「確定」ではなく、同じく、 ③ Ｐの「真」は、「未定」であって、「確定」ではないのであれば、といふのであれば、１（１）　Ｐ　　　Ａ　（２）　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ　（３）～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義といふ「計算」を、　（１）　Ｐ　　　Ａ１（２）　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ１（３）～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義といふ風に、書くことは、出来ない。然るに、（24）困難さの第二の理由には、自然演繹には「仮定の解消」（最初に仮定しておいて、あとでなかったことにする）という手続きがあり、それがなかなか理解しづらいことです。自然演繹は、「仮定の解消」のおかげで公理なしに演繹システムになり得ており、その意味で「仮定の解消」は自然演繹の本質だと言っても過言ではありません。（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４４頁）従って、（23）（24）により、（25）１（１）Ｐ　　　Ａ　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰといふ「計算」に於ける、「仮定の解消」とは、 ① Ｐ├ Ｐ ② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）に於いて、 ① Ｐの「真」は、「確定」であって、「未定」ではなく、逆に、 ② Ｐの「真」は、「未定」であって、「確定」ではないからである。といふ風に、「説明」することが出来る。従って、（03）（25）により、（26） ①「Ｐである」ので、「Ｐである」。と言へるのであれば、 ②「Ｐである」ならば「Ｐである」。といふことが、言へなければならない。といふことと、 ① Ｐ├ Ｐ ② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）に於いて、 ① Ｐの「真」は、「確定」であって、「未定」ではなく、逆に、 ② Ｐの「真」は、「未定」であって、「確定」ではない。といふことによって、１（１）Ｐ　　　Ａ　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰといふ「計算」に於ける、「仮定の解消」を、「説明」することが出来る。然るに、（27） ① 未然形（ｃ）「ば」に続いて「仮定条件」を表す。＊未然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなっていない」の意である。 ⑤ 已然形（ａ）「ば」「ども」に続いて「確定条件」を表す。＊已然―前の「未然」の反対で、「已に然り」、すなわち、「すでにそうなっている」の意である。（中村菊一、基礎からわかる古典文法、1978年、２３・２４頁）従って、（26）（27）により、（28） ①「Ｐである」ので、「Ｐである」。と言へるのであれば、 ②「Ｐである」ならば「Ｐである」。といふことが、言へなければならない。といふことは、「古文」で言ふと、 ① Ｐなれ（已然形）ば、Ｐなり。と言へるのであれば、 ② Ｐなら（未然形）ば、Ｐなり。といふことが、言へなければならない。といふことに、相当する。従って、（26）（27）（28）により、（29） ① Ｐ├ Ｐ ② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）といふ「連式」は、 ① Ｐなれ（已然形）ば、Ｐなり。 ② Ｐなら（未然形）ば、Ｐなり。といふ「日本語」に、相当する。令和０２年０１月３０日、毛利太。

2020年1月29日水曜日

～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）：西から太陽ならば、・・・・・。

― 興味深い「恒真式」を思ひついたので、前言を翻して、今日も書きます。― （01）（ⅱ）１　　（１）　　　　　Ｐ　　　　Ａ　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義　４　（４）　　　　～Ｐ　　　　Ａ　４　（５）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　４∨Ｉ　４　（６）　　　　　Ｐ→Ｑ　　５含意の定義　　　（７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　６∨Ｉ　　８（８）　　　　　　　Ｐ　　Ａ　　８（９）　　　　　～～Ｐ　　８ＤＮ　　８（ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　９∨Ｉ　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義然るに、（02）系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１１４頁）従って、（01）（02）により、（03） ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（04） ① Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。といふ「含意」は、 ① 真→偽≡真ならば偽である。であるときに限って、「式全体」として、「偽」になる。従って、（04）により、（05） ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｐでないならば、ＰならばＱである。といふ「式」は、 ②　　　（Ｐ→Ｑ） ②　　　（真→偽）でなければ、「偽」にはなれない。然るに、（06） ②　　　（Ｐ→Ｑ） ②　　　（真→偽）であれば、 ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）は、 ② ～真→（真→偽）である。然るに、（07） ② ～Ｐ ② ～真であれば、 ② ～Ｐは、偽であり、 ② ～真は、偽である。である。従って、（04）～（07）により、（08） ①　　　　Ｐ→Ｑ　≡ＰならばＱである。 ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｐでないならば、ＰならばＱである。に於いて、 ① であれば「偽」になれるが、 ② の場合は「偽」になれない。従って、（09） ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｐでないならば、ＰであるならばＱである。といふ「式」は、「偽」になれない。が故に、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（09）により、（10） ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｐでないならば、ＰであるならばＱである。に於いて、Ｐ＝太陽が西から昇る。Ｑ＝バカボンのパパは天才である。といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、 ② 太陽が西から昇らないならば、太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。といふ「仮言命題」は、「恒に、真」である。然るに、（11）（ⅲ）１　　（１）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　Ａ　２　（２）～Ｐ＆　Ｐ　　　　Ａ　２　（３）～Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ１２　（４）　　　　Ｐ→Ｑ　　１３ＭＰＰ　２　（５）　　　　Ｐ　　　　２＆Ｅ１２　（６）　　　　　　Ｑ　　４５ＭＰＰ１　　（７）～Ｐ＆Ｐ→　Ｑ　　２６ＣＰ（ⅳ）１　　（１）～Ｐ＆Ｐ　→Ｑ　　２６ＣＰ　２　（２）～Ｐ　　　　　　　Ａ　　３（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ　２３（４）～Ｐ＆Ｐ　　　　　２３＆Ｉ１２３（５）　　　　　　Ｑ　　１４ＭＰＰ１２　（６）　　　　Ｐ→Ｑ　　３５ＣＰ１　　（７）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　２６ＣＰ従って、（11）により、（12） ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｐでないならば、Ｐであるならば、Ｑである。 ③（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ≡ＰでなくてＰであるならば、Ｑである。に於いて、 ②＝③ である。従って、（10）（11）（12）により、（13） ② 太陽が西から昇らないならば、太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。 ③ 太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。といふ「日本語」に於いて、 ②＝③ である。然るに、（14） ③（～Ｐ＆Ｐ）≡太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る。といふことは、「矛盾」であるため、「絶対に有り得ない」。従って、（13）（14）により、（15） ② 太陽が西から昇らないならば、太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。 ③ 太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。といふ「日本語」は、 ③ 絶対に有り得ないことが、起こるならば、　　その時は、バカボンのパパは天才である。といふ「意味」になる。然るに、（16） ④ 太陽は西からは昇らない（太陽は東から昇る）。といふことは、「常識」である。従って、（15）（16）により、（17） ② 太陽が西から昇らないならば、太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。 ③ 太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。だけでなく、 ④ 　　　　　　　　　　　　　　太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。であったとしても、これらの「日本語」は、 ④ 絶対に有り得ないことが、起こるならば、　　その時は、バカボンのパパは天才である。といふ、「意味」になる。従って、（18） ④ 太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。といふ風に、ある人が言ふのであれば、その人は、暗に、 ④ バカボンのパパは天才ではない。といふ風に、言ってゐる。然るに、（19）（ⅱ）１　　（１）　　　　　Ｐ　　　　Ａ　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義　４　（４）　　　　～Ｐ　　　　Ａ　４　（５）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　４∨Ｉ　４　（６）　　　　　Ｐ→Ｑ　　５含意の定義　　　（７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　６∨Ｉ　　８（８）　　　　　　　Ｐ　　Ａ　　８（９）　　　　　～～Ｐ　　８ＤＮ　　８（ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　９∨Ｉ　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義に於ける、「含意の定義」の「証明」は、「次（20）」の通りである。（20）（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（20）により、（21） ① 　Ｐ→Ｑ　 ② ～Ｐ∨Ｑに於いて、 ①＝② である。然るに、（22）１代入の規則　一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（21）（22）により、（23）　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰ　　　（３）　　　　～Ｐ∨Ｐ　　２含意の定義　　　（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　３４７８ア∨Ｅ　　　（ウ）　～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　イ含意の定義といふ「４行の計算」は、「代入の規則」によって、「正しい」。（24）１　　（１）　　　　　Ｐ　　　　Ａ　　　（２）　　　　　Ｐ→Ｐ　　１１ＣＰに関しては、昨日も書いたものの、興味のある定理の大ていのものは、事実上ＣＰを適用することによって導かれる。たとえば、 Most theorems of intrest are obtained in fact by application of CP. For example: ３８　├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）　　　１（１）Ｐ　　　Ａ　　　　（２）Ｐ→Ｐ　１，１ＣＰ（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、６４頁と、原文）といふ、ことです。従って、（19）～（24）により、（25） ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｐでないならば、Ｐならば、Ｑである。に対する、「代入例（substitution instance）」として、 ② 太陽が西から昇らないならば、太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。といふ「命題」は、「恒真（恒に真）」である。同様に、（26） ② ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｐでないならば、Ｐならば、Ｑである。に対する、「代入例（substitution instance）」として、 ② If pigs are flying in formation over the English Channel then If pigs are not flying in formation over the English Channel then Napoleon is an American. といふ「命題」も、「恒真（恒に真）」である。令和０２年０１月２９日、毛利太。

2020年1月28日火曜日

分かりにくいが、極めて、重要な「仮定の解消（ＣＰ）」について。

― 事情があって、明日からしばらくの間（１・２・３週間くらひ？）、ブログを書くことが、出来そうもありません。ただし、ブログを止めてしまふわけでは、決してないので、そのことだけは、確認させて貰いたいと思ひます。― （01）未然　連用　　　終止　連体　已然　命令なら　なり（に）なり　なる　なれ　なれ　（体言・連体形に接続）断定を表す。然るに、（02） ① 未然形（ｃ）「ば」に続いて「仮定条件」を表す。＊未然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなってゐない」の意である。 ⑤ 已然形（ａ）「ば」「ども」に続いて「確定条件」を表す。＊已然―前の「未然」の反対で、「已に然り」、すなわち、「すでにそうなっている」の意である。（中村菊一、基礎からわかる古典文法、1978年、２３・２４頁）従って、（01）（02）により、（03） ① Ｐなら（未然形）ばＱなり。 ⑤ Ｐなれ（已然形）ばＱなり。に於いて、 ① Ｐは、「未定」であって、 ⑤ Ｐは、「確定」である。従って、（03）により、（04） ① Ｐなれ（已然形）ばＱなり。 ② Ｐなら（未然形）ばＱなり。といふ「文語」は、 ① ＰなのでＱである。 ② ＰならばＱである。といふ「口語」に相当する。従って、（03）（04）により、（05）以下では、 ① Ｐなれ（已然形）ばＱなり。 ② Ｐなら（未然形）ばＱなり。と書けば、 ① ＰなのでＱである。 ② ＰならばＱである。といふ「意味」であって、尚且つ、 ① のＰは、「確定」であって、 ② のＰは、「未定」である。とする。然るに、（06）「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、　├ を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、１６頁）従って、（05）（06）により、（07） ① Ｐ├ Ｐと書くならば、 ① Ｐなれ（已然形）ばＰなり。といふ「意味」であって、 ① のＰは、「確定」であって、「未定」ではない。然るに、（08）１（１）Ｐ　仮定に於いて、１　とは、すなはち、Ｐ　である。従って、（09）１（１）Ｐ　仮定といいふことは、実際には、Ｐ（１）Ｐ　確定といふ、ことになる。従って、（07）（08）（09）により、（10）１（１）Ｐ　仮定は、その実、 ① Ｐ├ Ｐ ① Ｐなれ（已然形）ばＰなり。といふことなる。然るに、（11）２９　Ｐ├ Ｐ　　　１（１）Ｐ　Ａこれ以上短い連式は証明できないし、またその証明は可能な最も短い証明である。 No shorter sequent than this can be proved, and its proof is the shortest possible proof. （E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、４４頁と、原文）従って、（10）（11）により、（12）もう一度、確認すると、１（１）Ｐ　仮定といふ「証明」は、その実、 ① Ｐ├ Ｐ ① Ｐなれ（已然形）ばＰなり。といふ、ことであり、それ故、 ① Ｐは、「確定」である。然るに、（13）興味のある定理の大ていのものは、事実上ＣＰを適用することによって導かれる。たとえば、 Most theorems of intrest are obtained in fact by application of CP. For example: ３８　├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）　　　１（１）Ｐ　　　Ａ　　　　（２）Ｐ→Ｐ　１，１ＣＰ（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、論理学入門、６４頁と、原文）従って、（13）により、（14）　　　１（１）Ｐ　　　　　　　　Ａ　　　　（２）ＰならばＰである。１１ＣＰといふ興味のある定理は、ＣＰを適用することによって導かれる。然るに、（15）３８　├ 　Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）　　　├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）１　　　（１）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　（２）　　　Ｐ→　Ｐ　　　１１ＣＰ　３　　（３）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ　３　　（４）　　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ　３　　（５）　　　　　　Ｐ　　　２４ＭＰＰ　３　　（６）　　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ　３　　（７）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　５６＆Ｉ　　　　（８）　～（Ｐ＆～Ｐ）　　３７ＲＡＡ　　９　（９）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ　　　ア（ア）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　　ア（イ）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　ア∨Ｉ　　９ア（ウ）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　９イ＆Ｉ　　９　（エ）　　～～Ｐ　　　　　アウＲＡＡ　　９　（オ）　　　　Ｐ　　　　　エＤＮ　　９　（カ）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　オ∨Ｉ　　９　（キ）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９カ＆Ｉ　　　　（ク）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　９キＲＡＡ　　　　（ケ）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　クＤＮ　　　　（〃）Ｐでないか、または、である。クＤＮ従って、（14）（15）により、（16）　　　１（１）Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　（２）ＰならばＰなり（同一律）。　　　　　　　１１ＣＰ　　　　（ケ）Ｐでないか、または、である（排中律）。　クＤＮといふ興味のある定理である、「同一律」は、ＣＰによって、「排中律」は、ＲＡＡとＤＮによって、導かれる。然るに、（17）（ケ）Ｐでないか、または、である（排中律）。といふのであれば、固より、明らかに、 ③ Ｐは「未定」である。従って、（05）（07）（15）（16）（17）により、（18）　　　１（１）Ｐである。　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　（２）ＰならばＰなり（同一律）。　　　　　　１１ＣＰ　　　　（ケ）Ｐでないか、または、である（排中律）。クＤＮに於いて、順番に、 ① Ｐは「確定」であり、 ② Ｐは「未定」であり、 ③ Ｐは「未定」である。然るに、（19）　　　１（１）Ｐである。　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　（２）ＰならばＰなり（同一律）。　　　　　　　１１ＣＰ　　　　（ケ）Ｐでないか、または、である（排中律）。　クＤＮであるといふことは、（１）に於ける「仮定の数」は、「１番目の仮定」が「１個」。（２）に於ける「仮定の数」は、「０個」。（ケ）に於ける「仮定の数」も、「０個」。である。といふことになる。従って、（19）により、（20）（１）から、（２）へ降りた「時点」で、（１）にあった「仮定」が、「無くなってゐる」。然るに、（21）困難さの第二の理由には、自然演繹には「仮定の解消」（最初に仮定しておいて、あとでなかったことにする）という手続きがあり、それがなかなか理解しづらいことです。自然演繹は、「仮定の解消」のおかげで公理なしに演繹システムになり得ており、その意味で「仮定の解消」は自然演繹の本質だと言っても過言ではありません。（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４４頁）従って、（12）（15）（19）（20）（21）により、（22）（１）Ｐなれ（已然形）ばＰなり。（２）Ｐなら（未然形）ばＰなり。に於いて、（１）から、（２）へ降りた「時点」で、「仮定の解消」が行はれ、（１）のＰは、「確定」から、（２）のＰは、「未定」に、変はってゐる。従って、（05）（12）（15）（22）により、（23）１（１）Ｐ　　　Ａ　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰといふ「計算」、すなはち、１（１）Ｐである。　　　　　　　　　Ａ　（２）Ｐなら（未然形）ばＰなり。　１１ＣＰといふ「計算」に於いて、（１）のＰは、「確定」から、（２）のＰは、「未定」に、変はってゐる。ものの、何故、さうなのかと言はば、　（２）Ｐ→Ｐといふ「式」は、　（２）Ｐなら（未然形）ばＰなり。といふ「日本語」に、相当し、　（２）Ｐなら（未然形）ばＰなり。といふ「日本語」に於いて、　（２）Ｐは、「未定」である。からである。といふ、ことなる。然るに、（24）　１（１）Ｐ　Ａ　に於いて、　Ａは、　　　　　　　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎの　　　　　　　Ａ、すなはち、　　　　　　「仮定」のＡである。従って、（23）（24）により、（25）　１（１）Ｐ　Ａ　に於いて、Ｐ　は、「確定」であると、　　　　　　　　　「仮定」されてゐて、　　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰに於いて、Ｐ　は、「確定」であるといふ、　　　　　　　　　「仮定」が、「解消」されてゐる。従って、（21）（25）により、（26）「仮定の解消」といふのは、確かに、（最初に仮定しておいて、あとでなかったことにする）という手続きである。といふ、ことになるが、より正確に言ふと、「仮定の解消」といふのは、（最初に「確定」としておいて、あとで「未定」にする）という手続きである。といふ、ことになる。然るに、（27）未然　連用　　　終止　連体　已然　命令なら　なり（に）なり　なる　なれ　なれ　（体言・連体形に接続）断定を表す。 ① 未然形（ｃ）「ば」に続いて「仮定条件」を表す。＊未然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなってゐない」の意である。 ⑤ 已然形（ａ）「ば」「ども」に続いて「確定条件」を表す。＊已然―前の「未然」の反対で、「已に然り」、すなわち、「すでにそうなっている」の意である。（中村菊一、基礎からわかる古典文法、1978年、２３・２４頁）といふ事情は、英語にはないため、右のやうな「説明」を、E.J.レモン先生が、してゐるわけでは、もちろん、ない。令和０２年０１月２８日、毛利太。

「素朴対偶論」と「未然形」。

（01） ① Ｐであるならば、Ｑである。 ② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。 ③ Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。 ④ Ｑでないならば、Ｐでない。に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。といふ「等式」を「素朴対偶論」とする。従って、（02）「素朴対偶論」により、「記号」で書くならば、 ① 　　　Ｐ→　Ｑ ② ～（　Ｐ＆～Ｑ） ③ ～（～Ｑ＆　Ｐ） ④ 　　～Ｑ→～Ｐに於いて、 ①＝②＝③＝④ である。然るに、（03）（ⅴ）１　（１）　～（Ｐ→　Ｑ）　　Ａ　２（２）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ　２（３）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　２ド・モルガンの法則　２（４）　　　Ｐ→　Ｑ　　　３含意の定義１２（５）　～（Ｐ→　Ｑ）＆　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　１２＆Ｉ１　（６）～～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ１　（７）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ＤＮ（ⅵ）１　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　２（２）　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ　２（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　　　　Ｑ　　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ１２（６）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ１　（７）　～（Ｐ→　Ｑ）　　２６ＲＡＡ従って、（03）により、（04） ⑤ ～（Ｐ→　Ｑ） ⑥　　Ｐ＆～Ｑに於いて、 ⑤＝⑥ である。然るに、（05）（ⅵ）１　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ１　（２）　　～Ｑ　　　　　　１＆Ｅ１　（３）　　　　　　Ｐ　　　１＆Ｅ１　（４）　　～Ｑ＆　Ｐ　　　２３＆Ｉ（ⅶ）１　（１）　　～Ｑ＆　Ｐ　　　Ａ１　（２）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１　（３）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ１　（４）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ従って、（05）により、（06） ⑥ Ｐ＆～Ｑ ⑦ ～Ｑ＆Ｐに於いて、 ⑥＝⑦ である。然るに、（07）（ⅶ）１　（１）　　～Ｑ＆Ｐ　　Ａ　２（２）　　～Ｑ→～Ｐ　　Ａ１　（３）　　～Ｑ　　　　　Ａ１２（４）　　　　　～Ｐ　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　　　　Ｐ　　１＆Ｅ１２（６）　　　～Ｐ＆Ｐ　　４５＆Ｉ１　（７）～（～Ｑ→～Ｐ）　２ＲＡＡ（ⅷ）１　　　（１）　～（～Ｑ→～Ｐ）　　Ａ　２　　（２）　～（～Ｑ＆Ｐ）　　Ａ　２　　（３）　　　　Ｑ∨～Ｐ　　　２ド・モルガンの法則　　４　（４）　　　　Ｑ　　　　　　Ａ　　４　（５）　　～～Ｑ　　　　　　４ＤＮ　　４　（６）　　～～Ｑ∨～Ｐ　　　５∨Ｉ　　　７（７）　　　　　　～Ｐ　　　Ａ　　　７（８）　　～～Ｑ∨～Ｐ　　　７∨Ｉ　２　　（９）　　～～Ｑ∨～Ｐ　　　３４６７８∨Ｅ　２　　（ア）　　　～Ｑ→～Ｐ　　　９含意の定義１２　　（イ）　～（～Ｑ→～Ｐ）＆　　　　　　　　　（～Ｑ→～Ｐ）　　１ア＆Ｉ１　　　（ウ）～～（～Ｑ→～Ｐ）　　２イＲＡＡ１　　　（エ）　　　～Ｑ→～Ｐ　　　ウＤＮ従って、（07）により、（08） ⑦ ～Ｑ＆Ｐ ⑧ ～（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ⑦＝⑧ である。従って、（04）（06）（08）により、（09） ⑤ 　～（Ｐ→　Ｑ） ⑥　　　Ｐ＆～Ｑ ⑦ ～Ｑ＆Ｐ ⑧ ～（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ⑤＝⑥ 　　　　である。　　⑥＝⑦ 　　である。　　　　⑦＝⑧ である。従って、（09）により、（10） ⑤ 　～（Ｐ→　Ｑ） ⑥　　　Ｐ＆～Ｑ ⑦ ～Ｑ＆Ｐ ⑧ ～（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。従って、（10）により、（11） ⑤ 　　～（Ｐ→　Ｑ） ⑥　　　　Ｐ＆～Ｑ ⑦ 　～Ｑ＆Ｐ ⑧ 　～（～Ｑ→～Ｐ）に於ける、それぞれの、「否定」である、 ①　～～（Ｐ→　Ｑ） ②　　～（Ｐ＆～Ｑ） ③ 　～（～Ｑ＆Ｐ） ④ ～～（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。従って、（01）（02）（11）により、（12）「二重否定の除去」により、 ① 　　　Ｐ→　Ｑ ② 　～（Ｐ＆～Ｑ） ③ ～（～Ｑ＆　Ｐ） ④ 　　～Ｑ→～Ｐに於いて、 ①＝②＝③＝④ である。従って、（10）（12）により、（13） ① 　　　Ｐ→　Ｑ ②　～（Ｐ＆～Ｑ） ③ ～（～Ｑ＆　Ｐ） ④ 　　～Ｑ→～Ｐ ⑤ 　～（Ｐ→　Ｑ） ⑥　　　Ｐ＆～Ｑ ⑦ ～Ｑ＆Ｐ ⑧ ～（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ①＝②＝③＝④ であって、 ⑤＝⑥＝⑦＝⑧ であって、 ⑤ は、① の「否定」であり、 ⑥ は、② の「否定」であり、 ⑦ は、③ の「否定」であり、 ⑧ は、④ の「否定」である。然るに、（14） ② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。といふのであれば、 ② は、「Ｐである。」とは言ってゐないし、「Ｑでない。」とも言ってゐない。従って、（01）（02）（12）（14）により、（15） ① Ｐ→　Ｑ ≡　Ｐならば、　Ｑである。 ② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。に於いて、 ② は、「Ｐである。」とは言ってゐないし、「Ｑでない。」とも言ってゐない。 ① も、「Ｐである。」とは言ってゐないし、「Ｑでない。」とも言ってゐない。然るに、（16）　未然　連用　　　　終止　連体　已然　命令 ① なら　なり（に）　なり　なる　なれ　なれ　（体言・連体形に接続） ① 断定を表す。然るに、（17）＊未然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなってゐない」の意である。（中村菊一、基礎からわかる古典文法、1978年、２３頁）従って、（16）（17）により、（18） ① Ｐなら（未然形）ばＱである。といふ「日本語」は、 ① まだ、Ｐではないが、Ｐが起これば、Ｑである。といふ「意味」である。然るに、（19） ① まだ、Ｐではないが、Ｐが起これば、Ｑである。として、 ④ Ｑでない。といふのであれば、 ④ まだ、Ｐは起こってはゐない。といふことになる。然るに、（20） ④ まだ、Ｐは起こってはゐない。といふことは、 ④ まだ、Ｐでない。といふ、ことである。従って、（19）（20）により、（21） ① まだ、Ｐではないが、Ｐが起これば、Ｑである。といふのであれば、 ④ まだ、Ｑではない、ならば、まだ、Ｐではない。といふ、ことになる。然るに、（22） ① まだ、Ｐではないが、Ｐが起これば、Ｑである。 ④ まだ、Ｑではない、ならば、まだ、Ｐではない。といふことは、 ① Ｐであるなら（未然形）ばＱである。 ④ Ｑでないなら（未然形）ばＰでない。といふことである。従って、（12）（16）（17）（22）により、（23） ① 　Ｐ→　Ｑ≡Ｐであるなら（未然形）ばＱである。 ④ ～Ｑ→～Ｐ≡Ｑでないなら（未然形）ばＰでない。に於いて、 ①＝④ である。といふことは、　未然　連用　終止　連体　已然　命令 ① なら　なり　なり　なる　なれ　なれといふ「活用」に於ける、＊未然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなってゐない」の意である。といふことからしても、「正しい」。然るに、（13）により、（24） ① Ｐ→　Ｑ≡ＰであるならばＱである。 ⑥ Ｐ＆～Ｑ≡Ｐであって、　Ｑでない。に於いて、 ① と ⑥ は、「矛盾」する。然るに、（25）（ⅰ）１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ１２（４）　　　　　Ｑ　　１２ＭＰＰ　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ（ⅱ）１　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　２（２）　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ１　（３）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　１ド・モルガンの法則　２（４）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　２含意の定義１２（５）～（～Ｐ∨　Ｑ）＆　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　３４＆Ｉ１　（６）　～（Ｐ→　Ｑ）　　２５ＲＡＡ従って、（24）（25）により、（26） ① Ｐ→　Ｑ≡ＰであるならばＱである。 ⑥ Ｐ＆～Ｑ≡Ｐであって、　Ｑでない。に於いて、 ① と ⑥ は、確かに、「矛盾」する。然るに、（27）　　　　 ⑥ Ｐ＆～Ｑ≡Ｐであって、Ｑでない。といふのであれば、 ⑥ は、「Ｐである。」と言ってゐるし、「Ｑでない。」とも言ってゐる。然るに、（15）により、（28） ① Ｐ→　Ｑ≡ＰであるならばＱである。といふのであれば、 ① は、「Ｐである。」とは言ってゐないし、「Ｑでない。」とも言ってゐない。従って、（27）（28）により、（29） ① Ｐ→　Ｑ≡ＰであるならばＱである。 ⑥ Ｐ＆～Ｑ≡Ｐであって、　Ｑでない。に於いて、 ① は、「Ｐである。」とは言ってゐないし、「Ｑでない。」とも言ってゐない。 ⑥ は、「Ｐである。」と、言ってゐるし、　「Ｑでない。」とも言ってゐる。従って、（26）（29）により、（30） ① Ｐ→　Ｑ≡ＰであるならばＱである。 ⑥ Ｐ＆～Ｑ≡Ｐであって、　Ｑでない。に於いて、 ① と ⑥ は、確かに、「矛盾」する。令和０２年０１月２８日、毛利太。

2020年1月27日月曜日

先ほどの「記事（R02/0/27）」の補足です。

―「先ほどの記事（R02/0/27）」に、「（35）以下」を補足します。― 然るに、（30）（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ　　　　　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　　　　　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　　　　　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ　　　　１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ　　　　１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ　　　　１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ　　　１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ　　　　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ　　　１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ　　　１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ　　　１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ　　　１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ従って、（30）により、（31） ①　　Ｐ→　Ｑ ② ～（Ｐ＆～Ｑ）に於いて、 ①＝② である。従って、（23）（31）により、（32） ① 　（　（（　（Ｐ　→Ｑ））　→Ｐ）→　Ｐ） ② 　（　（（～（Ｐ＆～Ｑ））　→Ｐ）→　Ｐ） ③ 　（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）→　Ｐ） ④ ～（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）＆～Ｐ）に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。従って、（33） ①　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 ②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。に於いて、 ①＝② であるが、 ②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。といふのであれば、 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。よりも、「もっと、変」であって、 ② は、「分けが、分からない」。然るに、（29）（31）（33）により、（34） ①　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 ②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。に於いて、 ① は「パースの法則」であるならば、 ② も「パースの法則」そのものである。　― 以下が、「補足」になります。― 然るに、（31）（32）により、（35） ①　　Ｐ→　Ｑ ② ～（Ｐ＆～Ｑ）の「代入例（Substitution instances）」として、 ① 　（　（（　（Ｐ　→Ｑ））　→Ｐ）→　Ｐ） ② 　（　（（～（Ｐ＆～Ｑ））　→Ｐ）→　Ｐ） ③ 　（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）→　Ｐ） ④ ～（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）＆～Ｐ）に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。といふことは、 ① 　　　（（Ｐ→Ｑ））→Ｐ）→　Ｐ ② ～（～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆～Ｐ）に於いても、 ①＝② である。然るに、（36） ② ～（～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆～Ｐ）といふ「式」から、 ② ～（　　　　　　　　　　　＆～Ｐ）といふ「部分」と除くと、 ② 　　～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）となって、この「式」は、 ②（（ＰならばＱであって）Ｐでない）といふことはない。といふ「意味」である。然るに、（37） ②（（ＰならばＱであって）Ｐでない）といふことはない。といふことは、 ②　（ＰならばＱ）ならばＰである。といふことである。従って、（36）（37）により、（38） ② ～（～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆～Ｐ）といふ「式」は、 ②（（ＰならばＱ）ならばＰであって）Ｐでない）といふことはない。といふ「意味」になる。然るに、（39） ②（（ＰならばＱ）ならばＰであって）Ｐでない）といふことはない。といふことは、 ②（（ＰならばＱ）ならばＰであって）Ｐである。といふことである。従って、（34）～（39）により、（40） ①　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 ②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。に於いて、 ① は「パースの法則」であるならば、 ② も「パースの法則」そのものである。と書いたものの、よく考へてみると、 ②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。といふ「日本語」も、結局は、 ②（（ＰならばＱ）ならばＰであって）Ｐである。といふ「意味」である。然るに、（41）『素朴・対偶論』に関する、「昨日（R02/0/26）の記事」でも書いたものの、 ①　　Ｐ→　Ｑ　≡　Ｐならば、Ｑである。 ② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（ＰであってＱでない）といふことはない。に於いて、 ①＝② である。といふことは、 ① Ｑである。 ② Ｑでない、といふことはない。に於いて、 ①＝② である。といふことに、他ならない。然るに、（42） ① Ｑである。 ② Ｑでない、といふことはない。に於いて、 ①＝② である。といふことは、「記号」で書くと、 ① 　　Ｑ ② ～～Ｑに於いて、 ①＝② であって、この「等式」を、「二重否定の除去」といふ。従って、（34）～（42）により、（43） ① 　　　（（Ｐ→Ｑ））→Ｐ）→　Ｐ ② ～（～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆～Ｐ） ①　　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 ② （（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。に於いて、 ① は「パースの法則」であるならば、 ② も「パースの法則」そのものである。と言へるためには、 ②「Ｑ≡～～Ｑ」である所の、「二重否定の除去」といふ「規則（Rule）」が、「公理（Axiom）」でなければ、ならない。従って、（43）により、（44） ① 　　　（（Ｐ→Ｑ））→Ｐ）→　Ｐ ② ～（～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆～Ｐ） ①　　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 ② （（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。といふ「パースの法則」を、「その通リである」と、認める一方で、 ②「Ｑ≡～～Ｑ」である所の、「二重否定の除去」といふ「規則（Rule）」が、「公理（Axiom）」である。といふことを、「否定」することは、出来ない。然るに、（45）ここで言っているのは、 "「Ｐではない」ではないならば、Ｐである" つまり、否定を～で表すと「～～ＰならばＰ」だと言ってます。 ……何か問題が? けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ。（背理法を絶対に認めない人たちの会）従って、（44）（45）により、（46）私自身は、「背理法を絶対に認めない人たちの会」には、入れては、貰へない。（47） ① Ｐであるならば、Ｑである。 ② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。 ③ Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。 ④ Ｑでないならば、Ｐでない。に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。といふ「等式」に対する「素朴・対偶論」といふ「命名」は、「このブログ」他の中で、私が行ったに、過ぎません。従って、（48）「素朴集合論（naive set theory）」に対して、もちろん、「素朴対偶論（naive contraposition theory）」といふ「用語」は、有りません。令和０２年０１月２７日、毛利太。

（パースの法則、１８８５）の「証明」（其の弐：言い訳）。

―『返り点に対する「括弧」の用法。』といふ「ブログ」なのに、長い間、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒ 　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。― （01）１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｒ＆Ｑ）　Ａ　２　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ　２　（３）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ　　４（４）　　　　　　　Ｒ＆Ｑ　　Ａ　　４（５）　　　　　　　　　Ｑ　　４＆Ｅ１　　（６）　　　Ｑ　　　　　　　　１２３４５∨Ｅといふ「計算」は、「正しい」。従って、（02）Ａ＝Ｐ＆ＱＢ＝Ｑ＆Ｒであるとして、１　　（１）（Ａ）∨（Ｂ）　　　　　Ａ　２　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ　２　（３）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ　　４（４）　　　　　　　Ｒ＆Ｑ　　Ａ　　４（５）　　　　　　　　　Ｑ　　４＆Ｅ１　　（６）　　　Ｑ　　　　　　　　１２３４５∨Ｅといふ「計算」は、「正しい」。従って、（01）（02）により、（03） ① Ａであるか、または、Ｂである。として、 ② Ａだけから、Ｑが「演繹」でき、 ③ Ｂだけから、Ｑが「演繹」できるならば、その時に、 ④ 初めて、「∨Ｅ（選言除去）」といふ「規則」を満たしてゐる。従って、（04） ① Ａであるか、Ｂである。として、 ② ＡとＢの両方を用ひて、 ③ Ｑを「演繹」したならば、 ④ その場合は、「∨Ｅ（選言除去）」といふ「規則」に「違反」してゐる。従って、（05）１　　　　　　　（１）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ　２　　　　　　（２）　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ１２　　　　　　（３）　　　　　Ｑ　　　　　　　　１２ＭＰＰ１　　　　　　　（４）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ　　　　　　　　（５）　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰ　　　　　　　　（６）　～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義　　７　　　　　（７）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　Ａ　　　８　　　　（８）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ　　　８　　　　（９）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　８含意の定義　　７８　　　　（ア）　～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ）　７９＆Ｉ　　７　　　　　（イ）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　８アＲＡＡ　　７　　　　　（ウ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　イ、ド・モルガンの法則　　７　　　　　（エ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ウ∨Ｉ　　　　オ　　　（オ）　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ　　　　オ　　　（カ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　オ∨Ｉ　　　　　　　　（キ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　６７エオカ∨Ｅ　　　　　ク　　（ク）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ　　　　　ク　　（ケ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　ク＆Ｅ　　　　　　コ　（コ）　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ　　　　　クコ　（サ）　　　　　　　　　　　Ｑ　　ケコＭＰＰ　　　　　クコ　（シ）　　　　～Ｑ　　　　　　　　ク＆Ｅ　　　　　クコ　（ス）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　サシ＆Ｉ　　　　　ク　　（セ）　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　コスＲＡＡ　　　　　　　ソ（ソ）　　　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　Ａ　　　　　　　ソ（タ）　　　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　ソ含意の定義　　　　　ク　ソ（チ）　～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ）　セタ＆Ｉ　　　　　ク　　（ツ）　　　　　　～（～Ｐ∨Ｑ）　ソチＲＡＡ　　　　　ク　　（テ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　ツ、ド・モルガンの法則　　　　　ク　　（ト）　　　　　　　　Ｐ　　　　　テ＆Ｅ　　　　　　　　（ナ）　　　　　　　　Ｐ　　　　　キクケコト∨Ｅといふ「計算」の、　　　　　　　　（キ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　６７エオカ∨Ｅ　　　　　ク　　（ク）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ　　　　　ク　　（ケ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　ク＆Ｅ　　　　　　コ　（コ）　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ　　　　　クコ　（サ）　　　　　　　　　　　Ｑ　　ケコＭＰＰといふ「部分」が、「∨Ｅ（選言除去）」といふ「規則」に「違反」してゐる。やうに、見えないこともない。然るに、（06）「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」により、～（Ｐ→Ｑ）≡～（～Ｐ∨Ｑ）≡（Ｐ＆～Ｑ）であるため、右の「計算」は、次（06）のやうに、書くことが出来る。（07）１　　　　　　　（１）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　Ａ　２　　　　　　（２）　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ１２　　　　　　（３）　　　　　Ｑ　　　　　　　　１２ＭＰＰ１　　　　　　　（４）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ　　　　　　　　（５）　（Ｐ→　Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰ　　　　　　　　（６）～（Ｐ→　Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義　　　　　　　　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　６の、左の選言項に対して、含意の定義＆ド・モルガンの法則　　　　　８　　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ　　　　　８　　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　　　８＆Ｅ　　　　　　ア　（ア）　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ　　　　　８ア　（イ）　　　　　　　　　　　Ｑ　　９アＭＰＰ　　　　　８ア　（ウ）　　　　～Ｑ　　　　　　　　８＆Ｅ　　　　　８ア　（エ）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　イウ＆Ｉ　　　　　８　　（オ）　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　アエＲＡＡ　　　　　８　　（カ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　オ含意の定義＆ド・モルガンの法則　　　　　８　　（キ）　　　　　　　　Ｐ　　　　　カ＆Ｅ　　　　　　　　（ク）　　　　　　　　Ｐ　　　　　７８９アキ∨Ｅ然るに、（08）　　　　　　　　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　６の、左の選言項に対して、含意の定義＆ド・モルガンの法則　　　　　８　　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ　　　　　８　　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　　　８＆Ｅ　　　　　　ア　（ア）　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ　　　　　８ア　（イ）　　　　　　　　　　　Ｑ　　９アＭＰＰであるものの、その一方で、「最初の１行目」自体が、１　　　　　　　（１）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａであるため、さうなると、「∨Ｅ（選言除去）」といふ「規則」に「違反」してゐる。とは、「単純には、言へない」のではと思ひ、そのため、「2020年1月21日火曜日」では、「右（05）」のような「計算」をした、次第である。然るに、（09）パースの法則排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。任意の命題Ｐ, Ｑについて、（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐが成り立つ『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰなんか、パズルのような命題ですね。（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）然るに、（10）（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ　　　Ａ　　　（２）　　　　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ（同一律）　　　（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義（排中律）４　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ４　　（５）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　４∨Ｉ４　　（６）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義４　　（７）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　４４＆Ｉ４　　（８）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（９）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（ア）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　９含意の定義４８　（イ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　８ア＆Ｉ４　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　９イＲＡＡ４　　（エ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ウ∨Ｉ　　オ（オ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　オ（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　オ∨Ｉ　　　（キ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　３４エオカ∨Ｅ　　　（ク）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義の場合は、（ⅱ）４　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ４　　（５）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　４∨Ｉ４　　（６）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義４　　（７）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　４４＆Ｉ４　　（８）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（９）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（ア）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　９含意の定義４８　（イ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　８ア＆Ｉ４　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　９イＲＡＡ４　　（エ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ウ∨Ｉであって、（ⅲ）　　オ（オ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　オ（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　オ∨Ｉであるため、　　　（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　の～Ｐ　だけから、４　　（エ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ウ∨Ｉが「演繹」出来てゐて、　　　（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　　　のＰ　だけから、　　オ（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　オ∨Ｉが「演繹」出来てゐる。従って、（03）（10）により、（11）　　　（キ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　３４エオカ∨Ｅは、「正しく」、それ故、　　　（ク）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義も、「正しい」。然るに、（12）系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１１４頁）従って、（10）（11）（12）により、（13） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「パースの法則」といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（14） ① Ａ→Ｂ　の場合は、 ① 真→真 ② 真→偽 ③ 偽→真 ④ 偽→偽に於ける、 ② 真→偽だけが、「全体として、偽」になる。従って、（13）（14）により、（15） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐが、「全体として、偽」であるためには、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→偽でなければ、ならない。然るに、（16） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→偽であるならば、他の２つのＰも「偽」であるため、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（偽→Ｑ）→偽）→偽である。然るに、（17） ①（（偽→Ｑ）→偽）→偽であって、 ① Ｑが「真」であるならば、 ①（（偽→真）→偽）→偽である。（18） ①（（偽→Ｑ）→偽）→偽であって、 ② Ｑが「偽」であるならば、 ②（（偽→偽）→偽）→偽従って、（14）～（18）により、（19） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐが、「全体として、偽」であるためには、 ①（（偽→真）→偽）→偽 ②（（偽→偽）→偽）→偽の内の、「どちら」かである。然るに、（14）（19）により、（20） ①（（偽→真）→偽）→偽 ②（（偽→偽）→偽）→偽であれば、 ①（（真）→偽）→偽 ②（（真）→偽）→偽であって、 ①（（真）→偽）→偽 ②（（真）→偽）→偽であれば、 ①（偽）→偽 ②（偽）→偽である。然るに、（14）（20）により、（21） ①（偽）→偽 ②（偽）→偽は、両方とも、「真」である。従って、（14）～（21）により、（22） ① 真→真 ② 真→偽 ③ 偽→真 ④ 偽→偽に於ける、 ② 真→偽だけが、「全体として、偽」になるが故に、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐの場合は、「全体として、偽」になることが出来ず、それ故、「恒に、真（トートロジー）」である。然るに、（23）１代入の規則　一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）然るに、（24）１　　（１）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ　　　（２）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　　１１ＣＰ（同一律）　　　（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　２含意の定義（排中律）４　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ４　　（５）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　４∨Ｉ４　　（６）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　４含意の定義４　　（７）　　　（Ｐ→～Ｑ）＆～Ｐ　　　　４４＆Ｉ４　　（８）～（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（９）　　　（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（ア）　　～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ　　　　９含意の定義４８　（イ）～（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）　　　８ア＆Ｉ４　　（ウ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）　　　９イＲＡＡ４　　（エ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ウ∨Ｉ　　オ（オ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ　　オ（カ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　オ∨Ｉ　　　（キ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　３４エオカ∨Ｅ　　　（ク）　　（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（Ｐならば～Ｑ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義従って、（23）（24）により、（25）「恒真式（トートロジー）」の「定義」からすれば、「当然」であるものの、 ①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐに於いて、Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substituution）」を行って得られる。 ②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「式」も、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（25）により、（26） ①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐは、両方とも、「恒真式（トートロジー）」であるため、「日本語」で言へば、 ①（（ＰであるならばＱである）ならばＰであるならば）Ｐである。 ②（（ＰであるならばＱでない）ならばＰであるならば）Ｐである。は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（27） ①（（ＰであるならばＱである）ならばＰであるならば）Ｐである。 ②（（ＰであるならばＱでない）ならばＰであるならば）Ｐである。といふことは、「一言」で言へば、 ③（（Ｐであるならば、ＱであらうとＱでなからうと）Ｐであるならば）Ｐである。といふことである。然るに、（10）（24）により、（28）「突き詰めて書く」と、「１８行の計算」は、１　　（１）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　　　（ク）　　（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義といふ「２行の計算」に、「まとめられる」。従って、（09）（26）（27）（28）により、（29）パースの法則排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。任意の命題Ｐ, Ｑについて、（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐが成り立つ『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰなんか、パズルのような命題ですね。とは言ふものの、 ①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（Ｐであるならば、ＱであらうとＱでなからうと）Ｐであるならば）Ｐである。といふ「パースの法則」は、「変なもの」であるどころか、「少しも、変ではなく、尚且つ、明らかに、真である」。然るに、（30）（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ　　　　　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　　　　　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　　　　　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ　　　　１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ　　　　１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ　　　　１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ　　　１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ　　　　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ　　　１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ　　　１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ　　　１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ　　　１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ従って、（30）により、（31） ①　　Ｐ→　Ｑ ② ～（Ｐ＆～Ｑ）に於いて、 ①＝② である。従って、（23）（31）により、（32） ① 　（　（（　（Ｐ　→Ｑ））　→Ｐ）→　Ｐ） ② 　（　（（～（Ｐ＆～Ｑ））　→Ｐ）→　Ｐ） ③ 　（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）→　Ｐ） ④ ～（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）＆～Ｐ）に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。従って、（33） ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 ②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。に於いて、 ①＝② であるが、 ②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。といふのであれば、 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。よりも、「もっと、変」であって、 ② は、「分けが、分からない」。然るに、（29）（31）（33）により、（34） ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 ②（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。に於いて、 ① は「パースの法則」であるならば、 ② も「パースの法則」そのものである。従って、（09）（34）により、（35）パースの法則排中律や二重否定の除去と等価である命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。任意の命題Ｐ, Ｑについて、～（～（（～（Ｐ＆～Ｑ））＆～Ｐ）＆～Ｐ）が成り立つ（（（（ＰであってＱでない）でなく）てＰでない）でなくてＰでない）ではない。なんか、パズルのような命題ですね。といふ「言ひ方」も、可能である。令和０２年０１月２７日、毛利太。

2020年1月26日日曜日

「素朴・対偶論」と「二重否定の除去」と「パースの法則」。

（01） ① Ｐであるならば、Ｑである。 ② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。に於いて、 ①＝② である。然るに、（02） ② Ｐであって、Ｑでない。 ③ Ｑでなくて、Ｐである。に於いて、 ②＝③ である。ｃｆ. 「交換法則（commutative law）」といふ。従って、（02）により、（03） ② Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。 ③ Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。に於いて、 ②＝③ である。然るに、（04） ③ Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。 ④ Ｑでないならば、Ｐでない。に於いて、 ③＝④ である。従って、（01）～（04）により、（05） ① Ｐであるならば、Ｑである。 ② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。 ③ Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。 ④ Ｑでないならば、Ｐでない。に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。従って、（06） ① Ｐであるならば、Ｑである。 ④ Ｑでないならば、Ｐでない。に於いて、 ①＝④ であるものの、「以上の論証」を、「素朴・対偶論」とする。然るに、（07） ① Ｐであるならば、Ｑである。 ② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。に於いて、 ①＝② である。といふことは、 ① Ｑである。 ② Ｑでない。といふことはない。に於いて、 ①＝② である。といふ、ことである。然るに、（08） ① Ｑである。 ② Ｑでない。といふことはない。に於いて、 ①＝② である。といふことを、「論理学の用語」では、「二重否定の除去」といふ。従って、（01）～（08）により、（09）「二重否定の除去」を「否定」するのであれば、「素朴・対偶論」を「否定」することになる。然るに、（10）「直観主義論理学者」ではない、「（私のやうな）普通の人」は、「素朴・対偶論」を「否定」しない。従って、（09）（10）により、（11）「（私のやうな）普通の人」は、「二重否定の除去」を「否定」しない。然るに、（12）（ⅰ）１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　２　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ１２　（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ　２　（５）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ１２　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ１　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ（ⅱ）１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ１　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１ド・モルガンの法則１　　（３）　　Ｑ∨～Ｐ　　　２交換法則１　　（４）～（～Ｑ＆Ｐ）　　３ド・モルガンの法則（ⅲ）１　　（１）～（～Ｑ＆Ｐ）　　Ａ　２　（２）　　～Ｑ　　　　　Ａ　　３（３）　　　　　Ｐ　　　Ａ　２３（４）　　～Ｑ＆Ｐ　　　２３＆Ｉ１２３（５）～（～Ｑ＆Ｐ）＆　　　　　　　（～Ｑ＆Ｐ）　　１４＆Ｉ１２　（６）　　　　～Ｐ　　　３５ＲＡＡ１　　（７）　～Ｑ→～Ｐ　　　２６ＣＰ然るに、（12）により、（13）（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）に於いて、　Ｐ＝～Ｑ　Ｑ＝～Ｐといふ「代入（Substitution）」を行ふと、（14）（ⅳ）１　　（１）　　～Ｑ→　～Ｐ　　　Ａ　２　（２）　　～Ｑ＆～～Ｐ　　　Ａ　２　（３）　　～Ｑ　　　　　　　２＆Ｅ１２　（４）　　　　　　～Ｐ　　　１３ＭＰＰ　２　（５）　　　　　～～Ｐ　　　２＆Ｅ１２　（６）　　～Ｐ＆～～Ｐ　　　４５＆Ｉ１　　（７）～（～Ｑ＆～～Ｐ）　　２６ＲＡＡ（ⅴ）１　　（１）～（～Ｑ＆～～Ｐ）　　Ａ１　　（２）　～～Ｑ∨　～Ｐ　　　１ド・モルガンの法則１　　（３）　　～Ｐ∨～～Ｑ　　　２交換法則１　　（４）～（～～Ｐ＆～Ｑ）　　３ド・モルガンの法則（ⅵ）１　　（１）～（～～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ　２　（２）　　～～Ｐ　　　　　　Ａ　　３（３）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ　２３（４）　　～～Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ１２３（５）～（～～Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　（～～Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ１２　（６）　　　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ１　　（７）　～～Ｐ→～～Ｑ　　　２６ＣＰ然るに、（14）により、（15）（ⅳ）（ⅴ）（ⅵ）に於いて、「二重否定の除去」を行ふと、（ⅳ）１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　　Ａ　２　（２）　　～Ｑ＆Ｐ　　Ａ　２　（３）　　～Ｑ　　　　２＆Ｅ１２　（４）　　　　～Ｐ　　１３ＭＰＰ　２　（５）　　　　　Ｐ　　２＆Ｅ１２　（６）　　～Ｐ＆Ｐ　　４５＆Ｉ１　　（７）～（～Ｑ＆Ｐ）　２６ＲＡＡ（ⅴ）１　　（１）～（～Ｑ＆Ｐ）　　Ａ１　　（２）　　Ｑ∨～Ｐ　　　１ド・モルガンの法則１　　（３）　～Ｐ∨　Ｑ　　　２交換法則１　　（４）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３ド・モルガンの法則（ⅵ）１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ１２　（６）　　　　　Ｑ　　　３５ＲＡＡ１　　（７）　　Ｐ→　Ｑ　　　２６ＣＰ従って、（12）～（15）により、（16） ① 　Ｐ→ Ｑ　≡Ｐであるならば、Ｑである。 ② 　～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。 ③ ～（～Ｑ＆　Ｐ）≡Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。 ④ 　～Ｑ→～Ｐ　≡Ｑでないならば、Ｐでない。に於いて、 ①⇒②⇒③⇒④ であって、尚且つ、 ④⇒③⇒②⇒① である。
従って、（05）（06）（17）により、（17）「二重否定の除去」により、 ① Ｐであるならば、Ｑである。 ② Ｐであって、　　Ｑでない。といふことはない。 ③ Ｑでなくて、　　Ｐである。といふことはない。 ④ Ｑでないならば、Ｐでない。に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。といふ「素朴・対偶論」は、「命題計算」としても、「正しい」。然るに、（18）証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。排中律や二重否定除去はいくつかの論理式に対しては個別に証明できることがあるけれども、古典論理のように普遍的に成立することはない（ウィキペディア）。従って、（17）（18）により、（19）あるいは、「直観主義論理」に於いては、「素朴・対偶論」は、「否定」されるのかも、知れない。然るに、（20）多くの古典論理の恒真式は直観主義的には証明できない。排中律Ｐ∨～だけでなくパースの法則（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐや二重否定除去～～Ｐ→Ｐなどがその例である（ウィキペディア）。然るに、（21）「昨日（令和０２年０１月２６日）の記事」にも書いた通り、（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエカ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義然るに、（22）系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１１４頁）従って、（21）（22）により、（23） ①（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「パースの法則の式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（24）（ⅱ）１　　　　（１）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ　２　　　（２）　　　　　　　　　　　　～Ｐ　Ａ１２　　　（３）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　１２ＭＴＴ　　４　　（４）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ　　　４　　（５）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　４含意の定義１２４　　（６）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆　　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　３５＆Ｉ１２　　　（７）　～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　　４６ＲＡＡ（背理法）１２　　　（８）　　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　７ド・モルガンの法則１２　　　（９）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　８＆Ｅ１２　　　（ア）　　　～Ｑ→～Ｐ９の対偶１２　　　（イ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　８＆Ｅ１２　　　（ウ）　　　　　　～～Ｑ∨～Ｐ　　　イ∨Ｉ１２　　　（エ）　　　　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　ウ含意の定義１２　　　（オ）　　　（～Ｑ→～Ｐ）＆　　　　　　　　　　　（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　アエ＆Ｉ１２　　　（カ）　　　（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　オ＆Ｅ１　　　　（キ）～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　２カＣＰ１　　　　（〃）　Ｐでないならば（～Ｑ→～Ｐ）。（ⅲ）１　　　　（１）　～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　Ａ　２　　　（２）　　　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　Ａ　２　　　（３）　　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　２含意の定義　　４　　（４）　　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　Ａ　　　５　（５）　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　　　Ａ　　　５　（６）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　５の対偶　　４５　（７）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４６＆Ｉ　　４　　（８）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　５７ＲＡＡ　　　　９（９）　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ　　　　９（ア）　　　　　　　　　～～Ｐ　　９ＤＮ　　　５９（イ）　　　～～Ｑ　　　　　　　　５アＭＴＴ　　　５９（ウ）　　　　　Ｑ　　　　　　　　イＤＮ　　　５　（エ）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　９ウＣＰ　　４５　（オ）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４エ＆Ｉ　　４　　（カ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　５オＲＡＡ　２　　　（キ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　３４８９カ∨Ｅ１２　　　（ク）～～Ｐ　　　　　　　　　　　１キＭＴＴ１２　　　（ケ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　クＤＮ１　　　　（コ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　２ケＣＰ従って、（24）により、（25）「昨日（令和０２年０１月２６日）の記事」にも書いた通り、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。の「対偶（Contraposition）」は、 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ② 　Ｐでないならば（Ｑでないならば、Ｐでない。）である。然るに、（26） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ④ ～Ｐ→（～～Ｑ→～Ｐ）然るに、（27）「二重否定の除去」により、 ④ ～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ）といふ「式」に、「等しい」。然るに、（28）「恒真式（トートロジー）」といふ、「言葉の意味」からしても、１代入の規則一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）。といふことは、「当然」である。従って、（26）（27）（28）により、（29） ①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ④ ～Ｐ→（　Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ①＝② は、「対偶」であって、「恒真式（トートロジー）」であって、 ③＝④ は、「対偶」であって、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（30） ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ ④ ～Ｐ→（　Ｑ→～Ｐ）といふ「式」、すなはち、 ② Ｐでないならば（Ｑでないならば、Ｐでない）。 ④ Ｐでないならば（Ｑであるならば、Ｐでない）。といふ「命題」が、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。といふことは、 ② Ｐでないならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐでない）。といふ「命題」が、「恒真式（トートロジー）」である。といふ、ことになる。然るに、（31）わさわざ、示す「必要」はないものの、１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエカ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義に対して、敢へて、Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substitution）」を行ふと、１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　１含意の定義　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ３　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　４含意の定義３　　（６）　　　（Ｐ→～Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ３　　（７）～（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（８）　　　（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義３８　（ア）～（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→～Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ３　　（イ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ３　　（ウ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ　　エ（オ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ　　　（カ）　～（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエカ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（Ｐならば～Ｑ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義といふ、ことになる。従って、（22）（23）（31）により、（32） ①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰであるならばＱである）ならばＰであるならば）Ｐである。といふ「パースの法則の式」は、「恒真式（トートロジー）」であるが故に、「代入の規則」により、 ②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ②（（ＰであるならばＱでない）ならばＰであるならば）Ｐである。といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（33） ①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「式」、すなはち、 ①（（ＰであるならばＱである）ならばＰであるならば）Ｐである。 ②（（ＰであるならばＱでない）ならばＰであるならば）Ｐである。といふ「命題」が、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。といふことは、 ①（（ＰであるならばＱであらうと）なからうとＰであるならば）Ｐである。といふ「命題」が、「恒真式（トートロジー）」である。といふ、ことになる。従って、（29）～（33）により、（34） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）といふ「パースの法則の式」と、その「対偶」は、 ①（（Ｐであるならば、Ｑであらうと）なからうとＰであるならば）Ｐである。 ②　Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、Ｐでない）。といふ「命題」である。といふ、ことになる。然るに、（35） ①（（Ｐであるならば、Ｑであらうと）なからうとＰであるならば）Ｐである。 ②　Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、Ｐでない）。といふ「命題」は、「少しも、変ではなく、尚且つ、明らかに、正しい」。従って、（19）（20）（35）により、（36）あるいは、「直観主義論理」に於いては、「素朴・対偶論」は、「否定」されるのかも、知れないし、その上、「直観主義論理」を用ひる限り、「少しも、変ではなく、尚且つ、明らかに、真である命題」が「恒真式（トートロジー）」である。といふことも、「証明不能」である。といふ、ことになる。（37）「直観主義論理」といふのは、もしかしたら、「不要」なのではと、思はれる。令和０２年０２月２６日、毛利太。

2020年1月25日土曜日

「パースの法則」の「対偶」は「普通」である。

（01）排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。任意の命題Ｐ, Ｑについて、（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐが成り立つ『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰなんか、パズルのような命題ですね。（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）従って、（01）により、（02） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。　といふ「恒真式（トートロジー）」を「パースの法則」といふ。然るに、（03）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義（であって、排中律。）　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエカ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義然るに、（04）系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１１４頁）従って、（02）（03）（04）により、（05） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「パースの法則」は、確かに、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（06）（ⅰ）１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ　２　（２）　Ｐ　　　　Ａ　　３（３）　　　～Ｑ　Ａ１２　（４）　　　　Ｑ　１２ＭＰＰ１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　３４＆Ｉ１　３（６）～Ｐ　　　　２５ＲＡＡ１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　３６ＣＰ（ⅱ）１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ　２　（２）　～Ｑ　　　　Ａ　　３（３）　　　　　Ｐ　Ａ１２　（４）　　　　～Ｐ　１２ＭＰＰ１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　３４＆Ｉ１　３（６）～～Ｑ　　　　２５ＲＡＡ１　３（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　３７ＣＰ従って、（06）により、（07） ① 　Ｐ→　Ｑ≡ＰであるならばＱである。 ② ～Ｑ→～Ｐ≡ＱでないならばＰでない。に於いて、 ①＝② であるものの、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。然るに、（08）数学では、元の命題「ＡならばＢ」の証明が難しくても、その対偶「ＢでないならＡでない」の証明は比較的易しい場合がある。「ＡならばＢ」と「ＢでないならＡでない」との真偽は一致するので、このようなときには対偶「ＢでないならＡでない」のほうを証明すれば「ＡならばＢ」を証明できる（対偶論法）。（ウィキペディア）従って、（05）～（08）により、（09） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「パースの法則」の「対偶」を「計算」すれば、「その対偶」は、「パースの法則」に「等しく」、『「その対偶」の対偶』は、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「パースの法則」に「等しい」。然るに、（10）（ⅰ）１　　　　（１）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ　２　　　（２）　　　　　　　　　　　　～Ｐ　Ａ１２　　　（３）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　１２ＭＴＴ　　４　　（４）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ　　　４　　（５）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　４含意の定義１２４　　（６）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆　　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　３５＆Ｉ１２　　　（７）　～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　　４６ＲＡＡ（背理法）１２　　　（８）　　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　７ド・モルガンの法則１２　　　（９）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　８＆Ｅ１２　　　（ア）　　　～Ｑ→～Ｐ９の対偶１２　　　（イ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　８＆Ｅ１２　　　（ウ）　　　　　　～～Ｑ∨～Ｐ　　　イ∨Ｉ１２　　　（エ）　　　　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　ウ含意の定義１２　　　（オ）　　　（～Ｑ→～Ｐ）＆　　　　　　　　　　　（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　アエ＆Ｉ１２　　　（カ）　　（～Ｑ→～Ｐ）　　　　オ＆Ｅ(一種の、冪等律）
１　　　　（キ）～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　　　２カＣＰ（ⅱ）１　　　　（１）　～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　Ａ　２　　　（２）　　　　（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ　Ａ　２　　　（３）　　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　２含意の定義　　４　　（４）　　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　Ａ　　　５　（５）　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　　　Ａ　　　５　（６）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　５の対偶　　４５　（７）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４６＆Ｉ　　４　　（８）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　５７ＲＡＡ　　　　９（９）　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ　　　　９（ア）　　　　　　　　　～～Ｐ　　９ＤＮ　　　５９（イ）　　　～～Ｑ　　　　　　　　５アＭＴＴ　　　５９（ウ）　　　　　Ｑ　　　　　　　　イＤＮ　　　５　（エ）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　９ウＣＰ　　４５　（オ）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４エ＆Ｉ　　４　　（カ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　５オＲＡＡ　２　　　（キ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　３４８９カ∨Ｅ（９はＣＰで削除）１２　　　（ク）～～Ｐ　　　　　　　　　　　１キＭＴＴ１２　　　（ケ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　クＤＮ１　　　　（コ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　２ケＣＰ従って、（06）（09）（10）により、（11） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ①＝② は、「対偶」である。然るに、（12） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substuitution）」を行ふと、 ③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ④ ～Ｐ→（～～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ③＝④ は、「対偶」である。然るに、（13）「二重否定律（ＤＮ）」により、 ④ ～～Ｑ　は、 ④ Ｑ　に「等しい」。従って、（12）（13）により、（14） ③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ④ ～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ③＝④ は、「対偶」である。然るに、（15）１代入の規則一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（03）（04）（05）（11）～（15）により、（16）　　 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ④ ～Ｐ→（　Ｑ→～Ｐ）は、四つとも「恒真式（トートロジー）」であって、 ①＝② は「対偶」であり、 ③＝④ は「対偶」である。
従って、（02）（16）により、（17） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「命題」は、その「対偶」で「読む」ならば、 ②　～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ④ ～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ） ⑤ Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）といふ「意味」になる。従って、（09）（17）により、（18） ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「命題」は「恒真式（トートロジー）」である。といふ「パースの法則」は、 ⑤ Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。といふ「法則」である。（19） ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）が「偽」であるために、 ② ～偽→（～Ｑ→～Ｐ）でなければ、ならない。然るに、（20） ② ～偽→（～Ｑ→～Ｐ）であるならば、 ② ～偽→（～Ｑ→～偽）である。然るに、（21） ② ～偽→（～Ｑ→～偽）であるならば、 ② 　真→（～Ｑ→ 真）である。然るに、（22） ② 　真→（～Ｑ→　真）であれば、 ② 　真→（～真→　真）であるか、 ② 　真→（～偽→　真）である。然るに、（23） ② 　真→（～真→　真） ② 　真→（～偽→　真）であるならば、 ② 真→（　偽→　真） ②　真→（　真→　真）である。然るに、（24）「真理表（Truth table）」により、 ② 真→（　偽→　真） ②　真→（　真→　真）は、両方とも「真」である。従って、（19）～（24）により、（25） ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）の場合は、 ② 真→（　偽→　真） ②　真→（　真→　真）は、両方とも「真」であって、それ故、 ② Ｑ＝真　であろうと、 ② Ｑ＝偽　であろうと、「恒に、真」である。従って、（17）（18）（25）により、（26） ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「命題」を、「対偶」で読む限り、「パースの法則」とは、 ⑤ Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。といふ「法則」であって、尚且つ、 ⑤ Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）といふ「命題」は「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（27） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「命題」の、「対偶」である所の、 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ② Ｐでないならば（Ｑでなからううと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）といふ「命題」は、「少しも、変ではなく、尚且つ、明らかに、真（本当）である。」従って、（01）（27）により、（28）「排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。」といふは言ふものの、私自身は、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「命題」、すなはち、 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ② Ｐでないならば（Ｑでなからうと、Ｑであらうと、いづれにせよ、Ｐでない。）といふ「命題」は、少しも「変である」とは、思はない。（29）「排中律や二重否定の除去と等価な命題」といふ「言ひ方」に関しては、「それがどういふ意味」なのか、私には、分からない。令和０２年０１月２５日、毛利太。

「パースの法則」の「証明」の「説明」。

（01）命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐのことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。従って、（01）により、（02） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「パースの法則」は、「演繹定理だけからでは導くことができない」（ウィキペディア）。然るに、（03）連式に対して１０個の原始的規則のみを用いて証明が見出されるならば、その連式を、簡単な言いかたをとって、導出可能（deriable）であるとよぶことにしよう。―中略、― メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、９７頁）（04）原始的規則よって導出できる連式はすべてトートロジー的であり、従ってメタ定理がえられることになる。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１０２頁）然るに、（05）メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。といふ「定理」を導く際に用ひられてゐるのは、『演繹定理』だけである。従って、（03）（04）（05）により、（06）　　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義（または、排中律。）３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエオ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義といふ「計算」で用ひられてゐる、「排中律」と、「含意の定義」と、「ド・モルガンの法則」が、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」から、「導出」出来るのであれば、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「パースの法則」は、「演繹定理だけからでは導くことができない」（ウィキペディア）。といふことは、「本当」ではない。といふ、ことになる。（07）さうでなければ、固より、「以上の計算（06）」が「マチガイ」である。といふことになるものの、「以上の計算（06）」に「マチガイ」はない。然るに、（08）４４├ ～Ｐ∨Ｐ１　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　２∨Ｉ１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ１　（５）　　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ１　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ１　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１７＆Ｉ　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、６６頁改）従って、（06）（08）により、（09）（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義（または、排中律。）は、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」から、「導出」出来る。然るに、（10）（ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ（ⅱ）１　　　　　　（１）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）　　Ａ　　３　　　　（３）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　　４　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ　　３　　　　（５）　　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ　　３４　　　（６）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　４５＆Ｉ　　　４　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６ＲＡＡ　　　　８　　（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ　　３　　　　（９）　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ　　３　８　　（ア）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ　　　　８　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３アＲＡＡ１　　　　　　（ウ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１４７８イ∨Ｅ　　　　　エ　（エ）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　　オ（オ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　　エオ（カ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ１　　　　エオ（キ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ１　　　　エ　（ク）　　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ１　　　　エ　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　クＤＮ１　　　　　　（コ）　　　　Ｐ→Ｑ　　　エケＣＰ１２　　　　　（サ）　　～（Ｐ→Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　２コ＆Ｉ１　　　　　　（シ）～～（Ｐ→　Ｑ）　　２サＲＡＡ１　　　　　　（ス）　　　Ｐ→　Ｑ　　　シＤＮ（ⅲ）１　　（１）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ　２　（２）　～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　Ａ　　３（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ　　３（４）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）＆　　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～（Ｐ→Ｑ）　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　　　　　Ｐ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）＆　　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　イＤＮ（ⅳ）１　　　　　　（１）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　Ａ　２　　　　　（２）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　Ａ　　３　　　　（３）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　Ａ　　　４　　　（４）　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ　　３　　　　（５）　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　３＆Ｅ　　３４　　　（６）　　～（Ｐ→Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　４５＆Ｉ　　　４　　　（７）　～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ　　　　８　　（８）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ　　３　　　　（９）　　　　　　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ　　３　８　　（ア）　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　８９＆Ｉ　　　　８　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　３アＲＡＡ１　　　　　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　１４７８イ∨Ｅ　　　　　エ　（エ）　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ　　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　Ａ　　　　　エオ（カ）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ１　　　　エオ（キ）　～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆　　　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　ウカ＆Ｉ１　　　　エ　（ク）　　　　　　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ１　　　　エ　（ケ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　クＤＮ１　　　　　　（コ）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　エケＣＰ１２　　　　　（サ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）＆　　　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　２コ＆Ｉ１　　　　　　（シ）～～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　２サＲＡＡ１　　　　　　（ス）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　シＤＮ（ⅴ）１　　（１）　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　Ａ　２　（２）　～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）　　Ａ　　３（３）　　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　　　Ａ　　３（４）　　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）＆　　　　　　　　（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）＆　　　　　　　　（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　　　イＤＮ（ⅵ）１　　　　　　（１）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨　Ｐ　　　Ａ　２　　　　　（２）　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　　Ａ　　３　　　　（３）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ　　　Ａ　　　４　　　（４）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　　　　Ａ　　３　　　　（５）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　　　　３＆Ｅ　　３４　　　（６）　　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆　　　　　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　　　　４５＆Ｉ　　　４　　　（７）　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ　　　　８　　（８）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ　　３　　　　（９）　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ　　３　８　　（ア）　　　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　８９＆Ｉ　　　　８　　（イ）　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ）　　３アＲＡＡ１　　　　　　（ウ）　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ）　　１４７８イ∨Ｅ　　　　　エ　（エ）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　　　　Ａ　　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　Ａ　　　　　エオ（カ）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ１　　　　エオ（キ）　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ）＆　　　　　　　　　　　　（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ）　　ウカ＆Ｉ１　　　　エ　（ク）　　　　　　　　　　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ１　　　　エ　（ケ）　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　クＤＮ１　　　　　　（コ）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　　エケＣい１２　　　　　（サ）　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）＆　　　　　　　　　　　　（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）　　　２コ＆Ｉ１　　　　　　（シ）～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）　　　２サＲＡＡ１　　　　　　（ス）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　　シＤＮ従って、（06）（10）により、（11）３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　４含意の定義　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　８含意の定義　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　１３ウエオ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義といふ「６行の、含意の定義」は、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」から、「導出」出来る。ｃｆ. （Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出されうる。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、６９頁）然るに、（12）（ⅶ）１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　Ａ　２　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　Ａ１　　　（３）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　１＆Ｅ　　４　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ１　４　（５）　　（Ｐ→Ｑ）＆　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　３４＆Ｉ　　４　（６）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　１５ＲＡＡ１　　　（７）　　　　　　　　～Ｐ　　　１＆Ｅ　　　８（８）　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ１　　８（９）　　　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　７８＆Ｉ　　　８（ア）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　１９ＲＡＡ　２　　（イ）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　２４６８ア１２　　（ウ）　（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆　　　　　　　～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）　　１イ＆Ｉ１　　　（エ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　１ウＲＡＡ（ⅷ）１　　（１）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　Ａ　２　（２）　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ　２　（３）　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　２∨Ｉ１２　（４）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　１３＆Ｉ１　　（５）　～～（Ｐ→Ｑ）　　　　　２４ＲＡＡ１　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　５　　６（７）　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ　　６（８）　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　６∨Ｉ１　６（９）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　１７＆Ｉ１　　（ア）　　　　　　　　～Ｐ　　　６８ＲＡＡ１　　（イ）　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　５９＆Ｉ従って、（06）（12）により、（13）３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則といふ「２行の、ド・モルガンの法則」は、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」から、「導出」出来る。従って、（06）（09）（11）（13）により、（14）　　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義（または、排中律。）３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエオ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義といふ「１６行の証明」は、「（E.J.レモンの）１０個の原始的規則」だけが、用ひられてゐる。従って、（06）（14）により、（15） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「パースの法則」は、「演繹定理だけからでは導くことができない」（ウィキペディア）。といふことは、「本当」ではなく、「ウソ」であると、思はれる。（16）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１排中律。３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａといふ「２行」は、（２）Ｐでないか、Ｐである（排中律）。は、「必ず、真」である。が、今は、（３）Ｐでない。　と、「仮定」する。といふ、「意味」である。（17）３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉといふ「２行」は、（３）Ｐでない。　と、「仮定」するが、その上、（４）Ｑかも知れないし、Ｑでないかも、知れない。といふ「意味」である。（18）３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義ので、（５）は、「含意の定義」である。（19）３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉといふ「一行」は、３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義に対して、３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａを加へた「形」である。（20）３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐを得ることが出来れば、３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡによって、３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉを得ることが、出来る。（21）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１排中律。　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａといふ「２行」は、（２）Ｐでないか、Ｐである（排中律）。は、「必ず、真」である。が、今度は、（エ）Ｐである。　と、「仮定」する。といふ「意味」である。（22）　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉといふ「２行」は、（エ）Ｐである。　と、「仮定」するが、その上、（オ）～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）であるかも知れないし、さうでないかも知れない。といふ、「意味」である。（23）　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエオ∨Ｅといふ「１行」は、（２）Ｐでないか、Ｐである（排中律）。は、「必ず、真」である。が、（２）Ｐでなくても、Ｐであっても、いづれにせよ、（カ）～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐである。といふ、「意味」である。（24）　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエオ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義といふ「２行」は、「含意の定義」により、（カ）＝（キ）である。といふ、「意味」である。然るに、（25） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「論理式」は、「日本語」でいふと、 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「意味」である。（26） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」だと知ったときは、「意外」であったものの、今は「意外」であるとは、思ってゐない。（27）「昨日（令和０２年０１月２４日）の記事」でも書いた通り、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。の「対偶（Contraposition）」を「計算」してみたところ、 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ②　Ｐでないならば（Ｑでなかろうと、Ｑであろうと、Ｐでない）。であることが、分かったものの、 ②　Ｐでないならば（Ｑでなかろうと、Ｑであろうと、Ｐでない）。といふことは、「当然」である。令和０２年０１月２５日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」。

（01） ①（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。といふことは、 ②　Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。といふことである。従って、（01）により、（02） ①（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。 ②　Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。に於いて、 ①＝② である。従って、（02）により、（03）「記号」で書くと、 ① ～（Ｐ＆　Ｑ） ② 　～Ｐ∨～Ｑに於いて、 ①＝② であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。従って、（02）（03）により、（04） ③（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。といふことはない。 ④（Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。）といふことはない。に於いて、すなはち、 ③ ～～（Ｐ＆　Ｑ） ④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）に於いて、 ③＝④ であるものの、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。然るに、（05） ③ ～～（Ｐ＆Ｑ） ③（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。といふことはない。といふことは、「二重否定律（ＤＮ）により、 ③ Ｐ＆Ｑ ③ Ｐであって、その上、Ｑである。といふことである。従って、（04）（05）により、（06） ③ 　　　Ｐ＆　Ｑ ④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）に於いて、 ③＝④ であるものの、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。従って、（01）～（06）により、（07） ① 　～（Ｐ＆　Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである。）といふことはない。 ② 　　～Ｐ∨～Ｑ　≡　Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。 ③ 　　　Ｐ＆　Ｑ　≡　Ｐであって、その上、Ｑである。 ④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。）といふことはない。に於いて、 ①＝② であって、 ③＝④ であり、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。然るに、（08）１代入の規則　一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（07）（08）により、（09）例へば、 ③ 　　　Ｐ＆　Ｑ ④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）に於いて、Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）Ｑ＝～Ｐといふ「代入（Substitution）」を行へば、 ③ 　　　（Ｐ→～Ｐ）＆　～Ｐ ④ ～（～（Ｐ→～Ｐ）∨～～Ｐ）に於いて、 ③＝④ であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。ｃｆ. この場合の「③＝④」を、「ベン図」ではどう描くのかだろうか（？）。然るに、（10） ① 　～（Ｐ＆　Ｑ） ② 　　～Ｐ∨～Ｑに於いて、Ｑ＝～Ｑといふ「代入（Substitution）」を行へば、 ① 　～（Ｐ＆　～Ｑ） ② 　　～Ｐ∨～～Ｑに於いて、 ①＝② であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。然るに、（11）「二重否定律（ＤＮ）により、 ② ～～Ｑ　は、 ② Ｑ　に「等しい」。従って、（10）（11）により、（12） ① ～（Ｐ＆～Ｑ） ② 　～Ｐ∨　Ｑに於いて、 ①＝② であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。然るに、（13）「交換法則」により、 ① ～（Ｐ＆～Ｑ） ② 　～Ｐ∨　Ｑといふ「式」は、 ③ ～（～Ｑ＆Ｐ） ④ 　　Ｑ∨～Ｐといふ「式」に、他ならない。従って、（12）（13）により、（14） ① ～（Ｐ＆～Ｑ） ② 　～Ｐ∨　Ｑ ③ ～（～Ｑ＆Ｐ） ④ 　　Ｑ∨～Ｐに於いて、 ①＝②＝③＝④ であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。従って、（14）により、（15） ① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑでない。）といふことはない。 ② 　～Ｐ∨　Ｑ　≡　Ｐでないか、Ｑであるか、少なくとも、その一方である。 ③ ～（～Ｑ＆Ｐ）≡（Ｑでなくて、その上、Ｐである。）といふことはない。 ④ 　　Ｑ∨～Ｐ　≡　Ｑであるか、Ｐでないか、少なくとも、その一方である。に於いて、 ①＝②＝③＝④ であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。然るに、（16） ①（Ｐであって、その上、Ｑでない。）といふことはない。といふことは。 ③ Ｐである。ならば、Ｑである。といふことに、他ならない。然るに、（17） ② Ｐでないか、Ｑであるか、少なくとも、その一方である。として、 ② Ｐでない、ではない。であるならば、「消去法」により、 ② Ｑである。然るに、（18）「二重否定律（ＤＮ）により、 ② Ｐでない、ではない。といふことは、 ② Ｐである。といふ、ことである。従って、（17）（18）により、（19） ② Ｐでないか、Ｑであるか、少なくとも、その一方である。といふことは、 ③ Ｐである。ならば、Ｑである。
といふことである。従って、（16）（19）により、（20） ①（Ｐであって、その上、Ｑでない。）といふことはない。 ② Ｐでないか、Ｑであるか、少なくとも、その一方である。といふことは、両方とも、 ③ Ｐであるならば、Ｑである。といふことに、他ならない。従って、（21）「記号」で書くと、 ① ～（Ｐ＆～Ｑ） ② ～Ｐ∨　Ｑ ③ Ｐ→　Ｑに於いて、 ①＝②＝③ であるものの、「上田泰治、論理学、1967年、８６頁」を見ると、 ①＝② も、「含意の定義」と、なってゐて、 ②＝③ も、「含意の定義」と、なってゐる。然るに、（22）「このブログ」では、 ① ～（Ｐ＆～Ｑ） ② ～Ｐ∨　Ｑ ③ Ｐ→　Ｑに於いて、 ①＝② を、「ド・モルガンの法則」といひ、 ②＝③ を、「含意の定義」といふ。然るに、（23） ① ～（Ｐ＆～Ｑ） ② ～Ｐ∨　Ｑ ③ Ｐ→　Ｑに於いて、 ①＝②＝③ である。といふことを、「言葉（日本語）」ではなく、「計算」で示すと、次（24）のやうになる。（24）（ⅰ）１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８∨Ｉ　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９＆Ｉ　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ１２　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ（ⅱ）１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　６７＆Ｉ　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ（ⅲ）１　　　　　　（１）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）　　Ａ　　３　　　　（３）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　　４　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ　　３　　　　（５）　　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ　　３４　　　（６）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　４５＆Ｉ　　　４　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６ＲＡＡ　　　　８　　（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ　　３　　　　（９）　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ　　３　８　　（ア）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ　　　　８　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３アＲＡＡ１　　　　　　（ウ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１４７８イ∨Ｅ　　　　　エ　（エ）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　　オ（オ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　　エオ（カ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ１　　　　エオ（キ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ１　　　　エ　（ク）　　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ１　　　　エ　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　クＤＮ１　　　　　　（コ）　　　　Ｐ→Ｑ　　　エケＣＰ１２　　　　　（サ）　　～（Ｐ→Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　　２コ＆Ｉ１　　　　　　（シ）　～～（Ｐ→Ｑ）　　２サＲＡＡ１　　　　　　（ス）　　　　Ｐ→Ｑ　　　シＤＮ（ⅳ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ従って、（24）により、（25） ① ～（Ｐ＆～Ｑ） ② ～Ｐ∨　Ｑ ③ Ｐ→　Ｑに於いて、 ① ⇔ ② であって、 ② ⇔ ③ である。従って、（25）により、（26） ① ～（Ｐ＆～Ｑ） ② ～Ｐ∨　Ｑ ③ Ｐ→　Ｑに於いて、 ①＝②＝③ である。令和０２年０２月２５日、毛利太。

2020年1月24日金曜日

「パースの法則」と「ルカジェヴィッツの公理１」は「同じ（等価）」である。

（01）排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。任意の命題Ｐ, Ｑについて、（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐが成り立つ『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰなんか、パズルのような命題ですね。さっぱりわけわからないですが。排中律を使って、つまり、Ｐが真の場合と偽の場合に場合分けすることで、これが成り立つことを示すことができます。（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）然るに、（02）　　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（同一律：ＰならばＰである。）　　　（２）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１含意の定義　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ３　　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ３　　（５）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　４含意の定義３　　（６）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　３４＆Ｉ３　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　６ド・モルガンの法則　８　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ　８　（９）　　～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ　　　　８含意の定義３８　（ア）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）＆　　　　　　　（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）　　　７９＆Ｉ３　　（イ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）　　　８アＲＡＡ３　　（ウ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　イ∨Ｉ　　エ（エ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　エ（オ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　エ∨Ｉ　　　（カ）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１３ウエオ∨Ｅ　　　（キ）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　カ含意の定義　　　（〃）　　（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。カ含意の定義然るに、（03）系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１１４頁）従って、（01）（02）（03）により、（04） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。といふ、「パースの法則」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（05）（ⅰ）１　　　　（１）　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ　２　　　（２）　　　　　　　　　　　～Ｐ　Ａ１２　　　（３）　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　１２ＭＴＴ　　４　　（４）　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ　　　４　　（５）　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　４含意の定義１２４　　（６）　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆　　　　　　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　３５＆Ｉ１２　　　（７）～（～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）　　　４６ＲＡＡ（背理法）１２　　　（８）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　７ド・モルガンの法則１２　　　（９）　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　８＆Ｅ１２　　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　９含意の定義１２　　　（イ）　　　Ｑ∨～Ｐ　　　　　　　ア交換法則　　　ウ　（ウ）　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ　　　ウ　（エ）　～～Ｑ　　　　　　　　　　ウＤＮ　　　ウ　（オ）　～～Ｑ∨～Ｐ　　　　　　　エ∨Ｉ　　　　カ（カ）　　　　　～Ｐ　　　　　　　Ａ　　　　カ（キ）　～～Ｑ∨～Ｐ　　　　　　　カ∨Ｉ１２　　　（ク）　～～Ｑ∨～Ｐ　　　　　　　イウオカキ∨Ｅ１２　　　（ケ）　　～Ｑ→～Ｐ　　　　　　　ク含意の定義１　　　　（コ）～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　　２ＣＰ（ⅱ）１　　　　　（１）　～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　Ａ　２　　　　（２）　　　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　Ａ　２　　　　（３）　　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　２含意の定義　　４　　　（４）　　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　Ａ　　　５　　（５）　　　　～Ｑ→～Ｐ　　　　　Ａ　　　　６　（６）　　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ　　　　６　（７）　　　　　　～～Ｐ　　　　　６ＤＮ　　　５６　（８）　　　～～Ｑ　　　　　　　　５７ＭＴＴ　　　５６　（９）　　　　　Ｑ　　　　　　　　８ＤＮ　　　５　　（ア）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　６９ＣＰ　　４５　　（イ）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４ア＆Ｉ　　４　　　（ウ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　５イＲＡＡ（背理法）　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ　　　　　エ（オ）　　　　　　　　　～～Ｐ　　エＤＮ　　　５　エ（カ）　　　～～Ｑ　　　　　　　　５オＭＴＴ　　　５　エ（キ）　　　　　Ｑ　　　　　　　　カＤＮ　　　５　　（ク）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　エキＣＰ　　４５　　（ケ）　　　～（Ｐ→　Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　４ク＆Ｉ　　４　　　（コ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　５ケＲＡＡ（背理法）　２　　　　（サ）　　～（～Ｑ→～Ｐ）　　　　３４ウエコ∨Ｅ１２　　　　（シ）～～Ｐ　　　　　　　　　　　１サＭＴＴ１２　　　　（ス）　　Ｐ　　　　　　　　　　　シＤＮ１　　　　　（セ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　　２スＣＰ従って、（05）により、（06） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ① ならば、② であり、 ② ならば、① である。従って、（06）により、（07） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ①＝② である。然るに、（08）（ⅰ）１　　　　（１）　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ　２　　　（２）　　　　　　　　　　　～Ｐ　Ａ１２　　　（３）　～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　１２ＭＴＴから、１　　　　（コ）～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）　　　　２ＣＰといふ「結果」を得た。といふことは、 ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。といふことに、他ならない。従って、（04）（08）により、（09） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、 ① が、「恒真式（トートロジー）」である以上、当然、 ② も、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（10） ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ）に於いて、Ａ＝～ＰＢ＝～Ｑといふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ③ Ａ→（Ｂ→Ａ）といふ「式」になる。然るに、（11）１代入の規則　一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（09）（10）（11）により、（12） ③ Ａ→（Ｂ→Ａ） ③ Ａならば（ＢならばＡである）。は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（13）１　　　　　（１）　　　　　Ａ　　　仮定１　　　　　（２）　～Ｂ∨　Ａ　　　１∨Ｉ　３　　　　（３）　　Ｂ＆～Ａ　　　仮定　　４　　　（４）　～Ｂ　　　　　　仮定　３　　　　（５）　　Ｂ　　　　　　３＆Ｅ　３４　　　（６）　～Ｂ＆Ｂ　　　　４５＆Ｉ　　４　　　（７）～（Ｂ＆～Ａ）　　３６ＲＡＡ（背理法）　　　８　　（８）　　　　　Ａ　　　仮定　３　　　　（９）　　　　～Ａ　　　３＆Ｅ　３　８　　（ア）　　Ａ＆～Ａ　　　８９＆Ｉ　　　８　　（イ）～（Ｂ＆～Ａ）　　３アＲＡＡ（背理法）１　　　　　（ウ）～（Ｂ＆～Ａ）　　２４７８イ∨Ｅ　　　　エ　（エ）　　Ｂ　　　　　　仮定　　　　　オ（オ）　　　　～Ａ　　　仮定　　　　エオ（カ）　　Ｂ＆～Ａ　　　エオ＆Ｉ１　　　エオ（キ）～（Ｂ＆～Ａ）＆　　　　　　　　　　（Ｂ＆～Ａ）　　ウカ＆Ｉ１　　　エ　（ク）　　　～～Ａ　　　オＤＮ１　　　エ　（ケ）　　　　　Ａ　　　ク１　　　　　（コ）　　　Ｂ→Ａ　　　エケＣＰ　　　　　　（サ）Ａ→（Ｂ→Ａ）　　１コＣＰ　　　　　　（〃）Ａならば（ＢならばＡである）。１コＣＰ従って、（03）（12）（13）により、（14） ③ Ａ→（Ｂ→Ａ） ③ Ａならば（ＢならばＡである）。は、果たして、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（09）～（14）により、（15） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ② ～Ｐ→（～Ｑ→～Ｐ） ③ 　Ａ→（Ｂ→Ａ）に於いて、 ①と② は、「対偶」として、「同じ」であって、 ②と③ は、「代入例」として、「同じ」である。従って、（15）により、（16） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。　 ③ 　Ａ→（Ｂ→Ａ） ③ 　Ａならば（ＢならばＡである）。に於いて、 ①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。従って、（16）により、（17） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。　 ③ 　Ａ→（Ｂ→Ａ） ③ 　Ａならば（ＢならばＡである）。に於いて、 ①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。従って、（17）により、（18） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。　 ③ 　Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③ 　Ｐならば（ＱならばＰである）。に於いて、 ①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。然るに、（19）［公理］　ルカジェヴィッツによる公理（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）　これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（01）（18）（19）により、（20） ①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　 ①（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。 ③ 　Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③ 　Ｐならば（ＱならばＰである）。に於いて、 ①「パースの法則」と、 ③「ルカジェヴィッツによる公理（１）」は、「論理的」には、「同じ」である。然るに、（21）排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、「パースの法則」があります。といふのであれば、排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、「ルカジェヴィッツによる公理（１）」があります。といふことになる。然るに、（22）背理法を絶対に認めない人たちの会背理法ってありますよね。高校あたりで習ったような気がする。Ｐでないと仮定する。そしたら、矛盾が生じた。矛盾が生じたのは、Ｐでないと仮定したからだ。なのでＰである。 ……いいんじゃないでしょうか。何が問題なんでしょうか? ここで言っているのは、 "「Ｐではない」ではないならば、Ｐである" つまり、否定を～で表すと「～～ＰならばＰ」だと言ってます。 ……何か問題が? けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ。（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）然るに、（23）（ａ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ（背理法）　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ（二重否定の除去）１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ（背理法）１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ（二重否定の除去）（ｂ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ（背理法）　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ（背理法）１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　８カＲＡＡ（背理法）１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ（二重否定の除去）１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ（ｃ）～Ｐ∨Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ（背理法）　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ（ｄ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ ～Ｐ∨Ｑ１　　　　　（１）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ　２　　　　（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　　３　　　（３）　　　　　～Ｑ　　　Ａ　２３　　　（４）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ１２３　　　（５）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ１２　　　　（６）　　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ（背理法）１２　　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ（二重否定の除去）１　　　　　（８）　　　　Ｐ→Ｑ　　　２７ＣＰ　　　９　　（９）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　　　ア　（ア）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　　　ア　（イ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　ア∨Ｉ　　　９ア　（ウ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　９イ＆Ｉ　　　９　　（エ）　　～～Ｐ　　　　　アウＲＡＡ（背理法）　　　９　　（オ）　　　　Ｐ　　　　　エＤＮ（二重否定の除去）１　　９　　（カ）　　　　　　Ｑ　　　８オＭＰＰ１　　９　　（キ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　カ∨Ｉ１　　９　　（ク）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　９キ＆Ｉ１　　　　　（ケ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　９クＲＡＡ（背理法）１　　　　　（コ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　ケＤＮ（二重否定の除去）従って、（23）により、（24）（ⅰ）　Ｐ→Ｑ ⇔ 　～Ｐ∨　Ｑ（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ ⇔ ～（Ｐ＆～Ｑ）である。従って、（24）により、（25）（ⅰ）　Ｐ→Ｑ ⇔ 　～Ｐ∨　Ｑ（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ ⇔ ～（Ｐ＆～Ｑ）に於いて、Ｑ＝Ｐといふ「代入（Substitution）」を行ふと、（ⅰ）　Ｐ→Ｐ ⇔ 　～Ｐ∨　Ｐ（ⅱ）～Ｐ∨Ｐ ⇔ ～（Ｐ＆～Ｐ）といふことなる。従って、（25）により、（26）「同一律」とは、「排中律」であって、「排中律」とは、「矛盾律」である。従って、（22）（23）（26）により、（27）「背理法を絶対に、認めない人たちの会」の方たちは、「二重否定の除去を認めない人たちの会」の会員であり、「同一律・矛盾律を認めない人たちの会」の会員である。といふ、ことになる。（28）排中律を否定したからといって、数学そのものがなくなるわけではありません。有限集合については排中律は依然として正しいので、「否定」というよりもむしろ「制限」というべきかもしれませんが、そのような仮定の下では、パラドックスが発生しないばかりか、数学の論証根拠はより堅固ものになるのです（吉永良正、ゲーデル・不完全定理、1992年、１６６頁）。といふことなので、私自身は、「背理法・二重否定の除去」に関しては、これまで通り、「何らの疑問」を待たないままで、ゐることにする。令和０２年０１月２４日、毛利太。

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